Si y son dos variables aleatorias continuas e independientes, descritas por funciones de densidad de probabilidad y entonces la función de densidad de probabilidad de es [2]
Prueba [3]
Primero escribimos la función de distribución acumulativa de comenzando con su definición
Encontramos la función de densidad de probabilidad deseada tomando la derivada de ambos lados con respecto a . Dado que en el lado derecho,aparece sólo en los límites de integración, la derivada se realiza fácilmente utilizando el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena . (Tenga en cuenta el signo negativo que se necesita cuando la variable ocurre en el límite inferior de la integración).
donde el valor absoluto se usa para combinar convenientemente los dos términos.
Prueba alternativa
Una prueba más rápida y compacta comienza con el mismo paso de escribir la distribución acumulativa de comenzando por su definición:
dónde es la función escalón de Heaviside y sirve para limitar la región de integración a valores de y satisfactorio .
Encontramos la función de densidad de probabilidad deseada tomando la derivada de ambos lados con respecto a .
donde utilizamos las propiedades de traducción y escala de la función delta de Dirac .
En la figura siguiente se ilustra una descripción más intuitiva del procedimiento. El pdf conjunto existe en el - plano y un arco de constante El valor se muestra como la línea sombreada. Para encontrar la probabilidad marginal en este arco, integre sobre incrementos de área en este contorno.
Diagrama para ilustrar la distribución del producto de dos variables.
Empezando con , tenemos . Entonces el incremento de probabilidad es. Desde implica , podemos relacionar el incremento de probabilidad con el -incremento, a saber . Entonces la integración termina, rinde .
Una interpretación bayesiana
Dejar ser una muestra aleatoria extraída de la distribución de probabilidad . Escalada por genera una muestra a partir de la distribución escalada que se puede escribir como una distribución condicional .
Dejando ser una variable aleatoria con pdf , la distribución de la muestra escalada se convierte en e integrando obtenemos entonces se extrae de esta distribución . Sin embargo, sustituyendo la definición de también tenemos que tiene la misma forma que la distribución de productos anterior. Así, la distribución posterior bayesiana es la distribución del producto de las dos muestras aleatorias independientes y .
Para el caso de que una variable sea discreta, sea tener probabilidad a niveles con . La densidad condicional es. Por lo tanto.
La transformada de Mellin de una distribucióncon soporte solo en y tener una muestra aleatoria es
La transformada inversa es
Si son dos muestras aleatorias independientes de diferentes distribuciones, entonces la transformada de Mellin de su producto es igual al producto de sus transformadas de Mellin:
Si s está restringido a valores enteros, un resultado más simple es
Así, los momentos del producto aleatorio son el producto de los momentos correspondientes de y esto se extiende a momentos no enteros, por ejemplo
- .
El pdf de una función se puede reconstruir a partir de sus momentos utilizando el método de aproximación del punto de silla .
Otro resultado es que para X , Y independientes
Ejemplo de distribución gamma Para ilustrar cómo el producto de momentos produce un resultado mucho más simple que encontrar los momentos de la distribución del producto, sea muestrearse a partir de dos distribuciones gamma, con parámetros cuyos momentos son
Multiplicar los momentos correspondientes da el resultado de la transformada de Mellin
Independientemente, se sabe que el producto de dos muestras Gamma independientes tiene la distribución
- .
Para encontrar los momentos de esto, haga el cambio de variable , simplificando integrales similares a:
por lo tanto
La integral definida
- está bien documentado y finalmente tenemos
lo cual, después de alguna dificultad, ha coincidido con el resultado del producto del momento anterior.
Si X , Y se dibujan independientemente de las distribuciones Gamma con parámetros de forma luego
Este tipo de resultado es universalmente cierto, ya que para las variables independientes bivariadas por lo tanto
o de manera equivalente, está claro que son variables independientes.
Distribuciones lognormales
La distribución del producto de dos variables aleatorias que tienen distribuciones logarítmicas normales es nuevamente logarítmica normal. Este es en sí mismo un caso especial de un conjunto de resultados más general donde el logaritmo del producto se puede escribir como la suma de los logaritmos. Por lo tanto, en los casos en los que se puede encontrar un resultado simple en la lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad , donde las distribuciones a convolucionar son las de los logaritmos de los componentes del producto, el resultado podría transformarse para proporcionar la distribución del producto. . Sin embargo, este enfoque solo es útil cuando los logaritmos de los componentes del producto se encuentran en algunas familias estándar de distribuciones.
Variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente
Dejar ser el producto de dos variables independientes cada uno distribuido uniformemente en el intervalo [0,1], posiblemente el resultado de una transformación de cópula . Como se indicó anteriormente en "Distribuciones lognormales", las operaciones de convolución de PDF en el dominio Log corresponden al producto de los valores de muestra en el dominio original. Por lo tanto, hacer la transformación, tal que , cada variable se distribuye independientemente en u como
- .
y la convolución de las dos distribuciones es la autoconvolución
A continuación, vuelva a transformar la variable a dando la distribución
- en el intervalo [0,1]
Para el producto de múltiples (> 2) muestras independientes, la ruta de función característica es favorable. Si definimos luego arriba hay una distribución gamma de forma 1 y factor de escala 1, , y su FQ conocida es . Tenga en cuenta que por tanto, el jacobiano de la transformación es la unidad.
La convolución de muestras independientes de por lo tanto tiene FQ que se sabe que es el CF de una distribución gamma de forma :
- .
Haciendo la transformación inversa obtenemos el PDF del producto de las n muestras:
La siguiente derivación, más convencional, de Stackexchange [6] es coherente con este resultado. En primer lugar, dejar su CDF es
La densidad de
Multiplicar por una tercera muestra independiente da una función de distribución
Tomando los rendimientos derivados
El autor de la nota conjetura que, en general,
La geometría de la distribución del producto de dos variables aleatorias en el cuadrado unitario.
La figura ilustra la naturaleza de las integrales anteriores. El área sombreada dentro del cuadrado unitario y debajo de la línea z = xy, representa el CDF de z. Este se divide en dos partes. El primero es para 0 dx . La segunda parte se encuentra debajo de la línea xy , tiene y -altura z / x , y área incremental dx z / x .
Distribuciones normal-central independientes
El producto de dos muestras normales independientes sigue una función de Bessel modificada. Dejar ser muestras de una distribución Normal (0,1) y . Luego
La varianza de esta distribución podría determinarse, en principio, por una integral definida de Gradsheyn y Ryzhik, [7]
por lo tanto
Un resultado mucho más simple, indicado en una sección anterior, es que la varianza del producto de muestras independientes de media cero es igual al producto de sus varianzas. Dado que la varianza de cada muestra normal es uno, la varianza del producto también es uno.
Distribuciones central-normales correlacionadas
Nadarajaha y Pogány abordaron recientemente el producto del caso de muestras normales correlacionadas. [8] Deja ser media cero, varianza unitaria, variantes distribuidas normalmente con coeficiente de correlación
Luego
Media y varianza : Para la media tenemosde la definición de coeficiente de correlación. La varianza se puede encontrar mediante la transformación de dos unidades de varianza cero las variables no correlacionadas medias U, V . Dejar
Entonces X, Y son variables de varianza unitaria con coeficiente de correlación y
Eliminando los términos de potencia impar, cuyas expectativas son obviamente cero, obtenemos
Desde tenemos
Asíntota de alta correlación En el caso de alta correlación,el producto converge en el cuadrado de una muestra. En este caso el asíntota es y
que es una distribución Chi-cuadrado con un grado de libertad.
Varias muestras correlacionadas . Nadarajaha et. Alabama. además demuestre que si iid variables aleatorias muestreadas de y es su media entonces
donde W es la función de Whittaker mientras.
Usando la identidad , consulte, por ejemplo, la compilación DLMF. eqn (13.13.9), [9] esta expresión se puede simplificar un poco a
El pdf da la distribución de una covarianza muestral. La distribución aproximada de un coeficiente de correlación se puede encontrar mediante la Transformación de Fisher.
Múltiples muestras correlacionadas no centrales . La distribución del producto de muestras normales no centrales correlacionadas fue derivada por Cui et.al. [10] y toma la forma de una serie infinita de funciones de Bessel modificadas del primer tipo.
Momentos del producto de muestras normales centrales correlacionadas
Para una distribución normal central N (0,1) los momentos son
dónde denota el factorial doble .
Si son variables centrales correlacionadas, el caso bivariado más simple del problema de momento normal multivariante descrito por Kan, [11] luego
dónde
- es el coeficiente de correlación y
[necesita ser revisado]
Distribuciones normales no centrales correlacionadas
La distribución del producto de muestras normales correlacionadas no centrales fue derivada por Cui et al. [10] y toma la forma de una serie infinita.
Estas distribuciones de productos son algo comparables a la distribución Wishart . La última es la distribución conjunta de los cuatro elementos (en realidad, solo tres elementos independientes) de una matriz de covarianza de muestra. Si son muestras de una serie temporal bivariada, es una matriz de Wishart con K grados de libertad. Las distribuciones de productos anteriores son la distribución incondicional del agregado de K > 1 muestras de.
Distribuciones centrales-normales independientes de valores complejos
Dejar ser muestras independientes de una distribución normal (0,1).
Configuraciónson muestras normales complejas independientes de media cero con simetría circular. Sus complejas variaciones son
Las funciones de densidad de
- ¿Se definen las distribuciones de Rayleigh como:
La variable es claramente chi-cuadrado con dos grados de libertad y tiene PDF
Bien puesto. Alabama. [12] muestran que la función de densidad de es
y la función de distribución acumulativa de es
Por tanto, la representación polar del producto de dos muestras gaussianas complejas no correlacionadas es
- .
El primer y segundo momento de esta distribución se pueden encontrar a partir de la integral en Distribuciones normales arriba.
Por tanto, su varianza es .
Además, la densidad de corresponde al producto de dos muestras de Chi-cuadrado independientes cada uno con dos DoF. Escribiéndolos como distribuciones Gamma escaladas luego, de los productos Gamma a continuación, la densidad del producto es
Distribuciones normales no centrales independientes de valor complejo
El producto de gaussianos complejos independientes no centrales es descrito por O'Donoughue y Moura [13] y forma una doble serie infinita de funciones de Bessel modificadas del primer y segundo tipo.
Distribuciones gamma
El producto de dos muestras Gamma independientes, , definiendo , sigue [14]
Distribuciones beta
Nagar et. Alabama. [15] definir una distribución beta bivariada correlacionada
dónde
Entonces el pdf de Z = XY viene dado por
dónde es la función hipergeométrica de Gauss definida por la integral de Euler
Tenga en cuenta que las distribuciones multivariadas no son generalmente únicas, aparte del caso gaussiano, y puede haber alternativas.
Distribuciones uniformes y gamma
La distribución del producto de una variable aleatoria que tiene una distribución uniforme en (0,1) con una variable aleatoria que tiene una distribución gamma con un parámetro de forma igual a 2, es una distribución exponencial . [16] Un caso más general de esto se refiere a la distribución del producto de una variable aleatoria que tiene una distribución beta con una variable aleatoria que tiene una distribución gamma : para algunos casos en los que los parámetros de las distribuciones de dos componentes están relacionados de cierta manera, el resultado es de nuevo una distribución gamma pero con un parámetro de forma modificado. [dieciséis]
La distribución K es un ejemplo de una distribución no estándar que se puede definir como una distribución de producto (donde ambos componentes tienen una distribución gamma).
Distribuciones gamma y de Pareto
Nadarajah derivó el producto de n Gamma y m muestras independientes de Pareto. [17]