La secuencia del catering perezoso, más formalmente conocida como números poligonales centrales , describe el número máximo de piezas de un disco ( generalmente se usa un panqueque o pizza para describir la situación) que se pueden hacer con un número dado de cortes rectos. Por ejemplo, tres cortes a lo largo de un panqueque producirán seis piezas si todos los cortes se encuentran en un punto común dentro del círculo, pero hasta siete si no lo hacen. Este problema se puede formalizar matemáticamente como el de contar las celdas en una disposición de líneas ; para generalizaciones a dimensiones superiores, consulte la disposición de hiperplanos .
El análogo de esta secuencia en tres dimensiones es el número de pastel .
Fórmula y secuencia
El número máximo p de piezas que se pueden crear con un número dado de cortes n , donde n ≥ 0 , viene dado por la fórmula
Usando coeficientes binomiales , la fórmula se puede expresar como
En pocas palabras, cada número es igual a un número triangular más 1.
Esta secuencia (secuencia A000124 en la OEIS ), comenzando con n = 0 , da como resultado
Prueba
Cuando un círculo se corta n veces para producir el número máximo de piezas, representado como p = f ( n ) , se debe considerar el n- ésimo corte; el número de piezas antes del último corte es f ( n - 1) , mientras que el número de piezas agregadas por el último corte es n .
Para obtener el número máximo de piezas, el n ésima línea de corte debe atravesar todos los demás líneas de corte anteriores dentro del círculo, pero no cruzar cualquier intersección de las líneas de corte anteriores. Así, el n ésima línea en sí es de corte en n - 1 lugares, y en n segmentos de línea. Cada segmento divide una pieza del panqueque cortado ( n - 1) en 2 partes, sumando exactamente n al número de piezas. La nueva línea no puede tener más segmentos ya que solo puede cruzar cada línea anterior una vez. Una línea de corte siempre puede cruzar todas las líneas de corte anteriores, ya que al girar la cuchilla en un ángulo pequeño alrededor de un punto que no es una intersección existente, si el ángulo es lo suficientemente pequeño, intersecará todas las líneas anteriores, incluida la última agregada.
Por lo tanto, el número total de piezas después de n cortes es
Esta relación de recurrencia se puede resolver. Si f ( n - 1) se expande un término, la relación se convierte en
La expansión del término f ( n - 2) puede continuar hasta que el último término se reduzca af (0) , por lo tanto,
Dado que f (0) = 1 , debido a que hay una pieza antes de realizar cualquier corte, esto se puede reescribir como
Esto se puede simplificar usando la fórmula para la suma de una progresión aritmética :
Ver también
- Triángulo de Floyd
- División de un círculo en áreas , donde n es el número de lados de un polígono inscrito
Notas
Referencias
- Moore, TL (1991), "Uso de la fórmula de Euler para resolver problemas de separación de planos", The College Mathematics Journal , Mathematical Association of America, 22 (2): 125–130, doi : 10.2307 / 2686448 , JSTOR 2686448.
- Steiner, J. (1826), "Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes (" Algunas declaraciones sobre la división del plano y del espacio ")", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1 : 349–364.
- Wetzel, JE (1978), "On the division of the plane by lines" (PDF) , American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 85 (8): 647–656, doi : 10.2307 / 2320333 , JSTOR 2320333 , archivado desde el original (PDF) el 21 de julio de 2011 , consultado el 15 de diciembre de 2008.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "División circular por líneas" . MathWorld .