En matemáticas , la dualidad de Lefschetz es una versión de la dualidad de Poincaré en topología geométrica , que se aplica a una variedad con límite . Esta formulación fue introducida por Lefschetz ( 1926 ), al mismo tiempo que introdujo la homología relativa , para su aplicación al teorema del punto fijo de Lefschetz . [1] En la actualidad existen numerosas formulaciones de la dualidad de Lefschetz o la dualidad de Poincaré-Lefschetz , o la dualidad de Alexander-Lefschetz .
Formulaciones
Deje que M sea un orientable compacto colector de dimensión n , con límite N , y dejar que z sea la clase fundamental de M . Luego , el producto del casquete con z induce un emparejamiento de los grupos de (co) homología de M y la (co) homología relativa del par ( M , N ); y esto da lugar a isomorfismos de H k ( M , N ) con H n - k ( M ), y de H k ( M , N ) con H n - k ( M ). [2]
Aquí , de hecho, N puede estar vacío, por lo que la dualidad de Poincaré aparece como un caso especial de la dualidad de Lefschetz.
Existe una versión para triples. Let N descomponen en subespacios A y B , a sí mismos colectores orientables compactos con límite común Z , que es la intersección de A y B . Entonces hay un isomorfismo [ cita requerida ] [3]
Notas
Referencias
- "Lefschetz_duality" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Lefschetz, Solomon (1926), "Transformaciones de colectores con un límite", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , Academia Nacional de Ciencias, 12 (12): 737–739, doi : 10.1073 / pnas. 12.12.737 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 84764 , PMC 1084792 , PMID 16587146