Relación binaria

Relación entre dos conjuntos, definida por un conjunto de pares ordenados

Relaciones binarias transitivas
Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumple Reflexivo Irreflexivo Asimétrico También conocido como: Total, Semiconnex Antirreflejos Relación de equivalencia ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Orden parcial ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Reserva total ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Orden total ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Ordenamiento previo ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Bien casi ordenado ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Bien ordenado ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Enrejado ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ Unión-semirrejilla ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✓ ✗ ✗ Encuentro-semilattice ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ Orden parcial estricto ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Orden estrictamente débil ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Orden total estricto ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumple Reflexivo Irreflexivo Asimétrico Definiciones: ${\displaystyle \scriptstyle {{\text{For all}}\,a,b\,{\text{and}}\,S\neq \varnothing :}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRb\Rightarrow bRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRb\,{\text{and}}\,bRa\Rightarrow a=b}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {a\neq b\Rightarrow aRb\,{\text{or}}\,bRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\min S\,{\text{exists}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {a\vee b\,{\text{exists}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {a\wedge b\,{\text{exists}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {{\text{not}}\,aRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRb\Rightarrow {\text{not}}\,bRa}}$
All definitions tacitly require the homogeneous relation ${\displaystyle R}$ be transitive: ${\displaystyle \scriptstyle {{\text{For all}}\,a,b,c,{\text{ if }}aRb{\text{ and }}bRc{\text{ then }}aRc}.}$ A "✓" indicates that the column property is required in the row definition. For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. Listed here are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

En matemáticas , una relación binaria sobre los conjuntos X e Y es un subconjunto del producto cartesiano ${\displaystyle X\times Y}$; es decir, que es un conjunto de pares ordenados ( x , Y ) que consisten de elementos de x en X y Y en Y . ^[1] Codifica el concepto común de relación: un elemento x se relaciona con un elemento y , si y solo si el par ( x , y ) pertenece al conjunto de pares ordenados que define la relación binaria . Una relación binaria es el caso especial más estudiado n = 2 de una relación n -ariasobre conjuntos X ₁ , ..., X _n , que es un subconjunto del producto cartesiano${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$^{[1] [2]}

Un ejemplo de una relación binaria es la relación " divide " sobre el conjunto de números primos ${\displaystyle \mathbb {P} }$y el conjunto de enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, en el que cada primo p está relacionado con cada entero z que es un múltiplo de p , pero no con un entero que no es un múltiplo de p . En esta relación, por ejemplo, el número primo 2 está relacionado con números como -4, 0, 6, 10, pero no con 1 o 9, al igual que el número primo 3 está relacionado con 0, 6 y 9, pero no a 4 o 13.

Las relaciones binarias se utilizan en muchas ramas de las matemáticas para modelar una amplia variedad de conceptos. Estos incluyen, entre otros:

• el " es mayor que ", " es igual a " y "divide" las relaciones en aritmética ;
• la relación " es congruente con " en geometría ;
• la relación "es adyacente a" en la teoría de grafos ;
• la relación "es ortogonal a" en álgebra lineal .

Una función puede definirse como un tipo especial de relación binaria. ^[3] Las relaciones binarias también se utilizan mucho en informática .

Una relación binaria sobre los conjuntos X e Y es un elemento del conjunto de potencia de${\displaystyle X\times Y.}$Dado que el último conjunto está ordenado por inclusión (⊆), cada relación tiene un lugar en la red de subconjuntos de${\displaystyle X\times Y.}$Una relación binaria es una relación homogénea o una relación heterogénea dependiendo de si X = Y o no.

Dado que las relaciones son conjuntos, pueden manipularse utilizando operaciones de conjuntos, incluidas la unión , la intersección y la complementación , y satisfaciendo las leyes de un álgebra de conjuntos . Más allá de eso, se encuentran disponibles operaciones como el recíproco de una relación y la composición de relaciones , satisfaciendo las leyes de un cálculo de relaciones , para lo cual existen libros de texto de Ernst Schröder , ^[4] Clarence Lewis , ^[5] y Gunther Schmidt . ^[6] Un análisis más profundo de las relaciones implica descomponerlas en subconjuntos llamados conceptos., y colocándolos en una celosía completa .

En algunos sistemas de teoría axiomática de conjuntos , las relaciones se extienden a clases , que son generalizaciones de conjuntos. Esta extensión es necesaria para, entre otras cosas, modelar los conceptos de "es un elemento de" o "es un subconjunto de" en la teoría de conjuntos, sin encontrar inconsistencias lógicas como la paradoja de Russell .

Los términos correspondencia , ^[7] relación diádica y relación de dos lugares son sinónimos de relación binaria, aunque algunos autores usan el término "relación binaria" para cualquier subconjunto de un producto cartesiano.${\displaystyle X\times Y}$sin referencia a X y Y , y reserva el término "correspondencia" para una relación binaria con referencia a X y Y . ^{[ cita requerida ]}

Definición

Dados los conjuntos X e Y , el producto cartesiano ${\displaystyle X\times Y}$ Se define como ${\displaystyle \{(x,y):x\in X{\text{ and }}y\in Y\},}$ y sus elementos se denominan pares ordenados.

Una relación binaria R sobre conjuntos X e Y es un subconjunto de${\displaystyle X\times Y.}$^{[1] [8]} El conjunto X se llama el dominio ^[1] o conjunto de salida de R , y el conjunto Y la codomain o conjunto de destino de R . Para especificar las opciones de los conjuntos X e Y , algunos autores definen una relación o correspondencia binaria como un triple ordenado ( X , Y , G ) , donde G es un subconjunto de${\displaystyle X\times Y}$llamado el gráfico de la relación binaria. La declaración${\displaystyle (x,y)\in R}$dice " x está R -relacionado con y " y se denota por xRy . ^{[4] [5] [6] [nota 1]} El dominio de definición o dominio activo ^[1] de R es el conjunto de todo x tal que xRy para al menos una y . El codominio de definición , codominio activo , ^[1] imagen o rango de R es el conjunto de todo y tal que xRy para al menos una x. El campo de R es la unión de su dominio de definición y su codominio de definición. ^{[10] [11] [12]}

Cuándo ${\displaystyle X=Y,}$una relación binaria se llama relación homogénea (o endorrelación ). De lo contrario, es una relación heterogénea . ^{[13] [14] [15]}

En una relación binaria, el orden de los elementos es importante; Si${\displaystyle x\neq y}$entonces yRx puede ser verdadero o falso independientemente de xRy . Por ejemplo, 3 divide a 9, pero 9 no divide a 3.

Ejemplos

2do ejemplo de relación

A B ′	pelota	coche	muñeca	taza
Juan	+	-	-	-
María	-	-	+	-
Venus	-	+	-	-

1er ejemplo de relación

A B	pelota	coche	muñeca	taza
Juan	+	-	-	-
María	-	-	+	-
Ian	-	-	-	-
Venus	-	+	-	-

1) El siguiente ejemplo muestra que la elección del codominio es importante. Supongamos que hay cuatro objetos${\displaystyle A=\{{\text{ball, car, doll, cup}}\}}$ y cuatro personas ${\displaystyle B=\{{\text{John, Mary, Ian, Venus}}\}.}$Una posible relación entre A y B es la relación "es propiedad de", dada por${\displaystyle R=\{({\text{ball, John}}),({\text{doll, Mary}}),({\text{car, Venus}})\}.}$Es decir, John es dueño de la pelota, Mary es dueña de la muñeca y Venus es dueña del auto. Nadie es dueño de la taza e Ian no es dueño de nada, vea el primer ejemplo. Como conjunto, R no involucra a Ian y, por lo tanto, R podría haber sido visto como un subconjunto de${\displaystyle A\times \{{\text{John, Mary, Venus}}\},}$es decir, una relación sobre A y${\displaystyle \{{\text{John, Mary, Venus}}\},}$ver el segundo ejemplo. Mientras que la segunda relación de ejemplo es sobreyectiva (ver más abajo ), la primera no lo es.

Océanos y continentes (islas omitidas)

Continente de fronteras oceánicas

	N / A	SA	AF	UE	COMO	AU	Automóvil club británico
indio	0	0	1	0	1	1	1
Ártico	1	0	0	1	1	0	0
atlántico	1	1	1	1	0	0	1
Pacífico	1	1	0	0	1	1	1

2) Sea A = {Índico, Ártico, Atlántico, Pacífico}, los océanos del globo, y B = {NA, SA, AF, UE, AS, AU, AA}, los continentes . Deje aRb representan ese océano un fronteras continente b . Entonces la matriz lógica para esta relación es:

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&1\\1&1&0&0&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

La conectividad del planeta Tierra se puede visualizar a través de RR ^T y R ^T R , siendo el primero un${\displaystyle 4\times 4}$relación en A , que es la relación universal (${\displaystyle A\times A}$o una matriz lógica de todos). Esta relación universal refleja el hecho de que cada océano está separado de los demás como máximo por un continente. Por otro lado, R ^T R es una relación en${\displaystyle B\times B}$que no es universal porque al menos dos océanos deben atravesarse para viajar de Europa a Australia .

3) La visualización de relaciones se apoya en la teoría de grafos : Para las relaciones en un conjunto (relaciones homogéneas), un grafo dirigido ilustra una relación y un grafo una relación simétrica. Para relaciones heterogéneas, un hipergráfico tiene bordes posiblemente con más de dos nodos, y puede ilustrarse mediante un gráfico bipartito .

Así como la camarilla es parte integral de las relaciones de un conjunto, los biciciclos se utilizan para describir relaciones heterogéneas; de hecho, son los "conceptos" que generan un entramado asociado a una relación.

Los diversos ejes t representan el tiempo para los observadores en movimiento, los ejes x correspondientes son sus líneas de simultaneidad

4) Ortogonalidad hiperbólica : el tiempo y el espacio son categorías diferentes, y las propiedades temporales están separadas de las propiedades espaciales. La idea de eventos simultáneos es simple en tiempo y espacio absolutos, ya que cada tiempo t determina un hiperplano simultáneo en esa cosmología. Herman Minkowski cambió eso cuando articuló la noción de simultaneidad relativa , que existe cuando los eventos espaciales son "normales" a un tiempo caracterizado por una velocidad. Usó un producto interno indefinido y especificó que un vector de tiempo es normal a un vector espacial cuando ese producto es cero. El producto interno indefinido en un álgebra de composición está dado por

${\displaystyle <x,z>\ =\ x{\bar {z}}+{\bar {x}}z\;}$ donde la barra superior denota conjugación.

Como relación entre algunos eventos temporales y algunos eventos espaciales, la ortogonalidad hiperbólica (como se encuentra en números complejos divididos ) es una relación heterogénea. ^[dieciséis]

5) Una configuración geométrica puede considerarse una relación entre sus puntos y sus líneas. La relación se expresa como incidencia . Se incluyen planos proyectivos y afines finitos e infinitos. Jakob Steiner fue pionero en la catalogación de configuraciones con los sistemas Steiner ${\displaystyle {\text{S}}(t,k,n)}$que tienen un conjunto S de n elementos y un conjunto de subconjuntos de k elementos llamados bloques , de modo que un subconjunto con t elementos se encuentra en un solo bloque. Estas estructuras de incidencia se han generalizado con diseños de bloques . La matriz de incidencia utilizada en estos contextos geométricos corresponde a la matriz lógica utilizada generalmente con relaciones binarias.

Una estructura de incidencia es una triple D = ( V , B , I ) donde V y B son dos conjuntos disjuntos cualesquiera e I es una relación binaria entre V y B , es decir${\displaystyle I\subseteq V\times {\textbf {B}}.}$Los elementos de V serán llamados puntos , los de B bloques y los de I banderas . ^[17]

Tipos especiales de relaciones binarias

Ejemplos de cuatro tipos de relaciones binarias sobre los números reales : uno a uno (en verde), uno a muchos (en azul), muchos a uno (en rojo), muchos a muchos (en negro) ).

Algunos tipos importantes de relaciones binarias R sobre los conjuntos X e Y se enumeran a continuación.

Como un set^{[ cita requerida ]} (o local )

para todos ${\displaystyle x\in X,}$la clase de todo y tal que yRx es un conjunto. (Esto tiene sentido sólo si se permiten relaciones sobre clases adecuadas). Por ejemplo, el orden habitual <sobre la clase de números ordinales es una relación de tipo conjunto, mientras que su inversa> no lo es.

Propiedades de singularidad:

• Inyectivo (también llamado único por la izquierda ): ^[18] para todos${\displaystyle x,z\in X}$ y todo ${\displaystyle y\in Y,}$si xRy y zRy entonces x = z . Para una relación tal, { Y } se llama una clave primaria de R . ^[1] Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que relaciona −1 y 1 a 1), ni la negra (ya que relaciona −1 y 1 a 0).
• Funcional (también llamado derecho-único , ^[18] derecho-definido ^[19] o univalente ): ^[6] para todos${\displaystyle x\in X}$ y todo ${\displaystyle y,z\in Y,}$si xRy y xRz entonces y = z . Esta relación binaria se llama función parcial . Para tal relación,${\displaystyle \{X\}}$se llama una clave primaria de R . ^[1] Por ejemplo, las relaciones binarias rojo y verde en el diagrama son funcionales, pero la azul no lo es (ya que relaciona 1 con −1 y 1), ni la negra (ya que se relaciona 0 con −1 y 1).
• Uno a uno : inyectivo y funcional. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es uno a uno, pero las rojas, azules y negras no lo son.
• Uno a muchos : inyectivo y no funcional. Por ejemplo, la relación binaria azul en el diagrama es de uno a muchos, pero las rojas, verdes y negras no lo son.
• Muchos a uno : funcional y no inyectable. Por ejemplo, la relación binaria roja en el diagrama es de muchos a uno, pero las verde, azul y negra no lo son.
• Muchos a muchos : no inyectable ni funcional. Por ejemplo, la relación binaria negra en el diagrama es de muchos a muchos, pero las rojas, verdes y azules no lo son.

Propiedades de totalidad (solo definibles si se especifican el dominio X y el codominio Y ):

• Serial (también llamado left-total ): ^[18] para todo x en X existe una y en Y tal que xRy . En otras palabras, el dominio de la definición de R es igual a X . Esta propiedad, aunquealgunos autorestambién la denominan total , ^{[ cita requerida ]} es diferente de la definición de conectado (también llamado total por algunos autores) ^{[ cita requerida ]} en Propiedades . Esta relación binaria se llamafunción multivalor . Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son seriales, pero la azul no lo es (ya que no se relaciona −1 con ningún número real), ni la negra (ya que no se relaciona 2 con ningún número real). ). Como otro ejemplo,> es una relación serial sobre los enteros. Pero no es una relación serial sobre los enteros positivos, porque no hay y en los enteros positivos tal que 1> y . ^[20] Sin embargo, <es una relación serial sobre los enteros positivos, los números racionales y los números reales. Toda relación reflexiva es serial: para una x dada, elija y = x .
• Sobreyectiva (también llamada derecha-total ^[18] o sobre ): para todo y en Y , existe una x en X tal que xRy . En otras palabras, la codomain de definición de R es igual a Y . Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con -1), ni la negra (ya que no relaciona ningún número real con 2 ).

Propiedades de unicidad y totalidad (solo definibles si se especifican el dominio X y el codominio Y ):

• Una función : una relación binaria que es funcional y serial. Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son funciones, pero las azul y negra no lo son.
• Una inyección : una función inyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una inyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
• Una sobreyección : una función que es sobreyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una sobreyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
• Una biyección : una función inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una biyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.

Operaciones sobre relaciones binarias

Unión

Si R y S son relaciones binarias sobre los conjuntos X e Y, entonces${\displaystyle R\cup S=\{(x,y):xRy{\text{ or }}xSy\}}$es la relación unión de R y S sobre X y Y .

El elemento de identidad es la relación vacía. Por ejemplo,${\displaystyle \,\leq \,}$ es la unión de <y =, y ${\displaystyle \,\geq \,}$ es la unión de> y =.

Intersección

Si R y S son relaciones binarias sobre los conjuntos X e Y, entonces${\displaystyle R\cap S=\{(x,y):xRy{\text{ and }}xSy\}}$es la relación de intersección de R y S sobre X y Y .

El elemento de identidad es la relación universal. Por ejemplo, la relación "es divisible por 6" es la intersección de las relaciones "es divisible por 3" y "es divisible por 2".

Composición

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y , y S es una relación binaria sobre los conjuntos Y y Z, entonces${\displaystyle S\circ R=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in Y{\text{ such that }}xRy{\text{ and }}ySz\}}$(también denotada por R ; S ) es la relación composición de R y S sobre X y Z .

El elemento de identidad es la relación de identidad. El orden de R y S en la notación${\displaystyle S\circ R,}$utilizado aquí concuerda con el orden de notación estándar para la composición de funciones . Por ejemplo, la composición "es madre de"${\displaystyle \,\circ \,}$"es padre de" rendimiento "es abuelo materno de", mientras que la composición "es padre de" ${\displaystyle \,\circ \,}$es madre de "rinde" es abuela de ". Para el primer caso, si x es el padre de y e y es la madre de z , entonces x es el abuelo materno de z .

Converse

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y, entonces${\displaystyle R^{\text{T}}=\{(y,x):xRy\}}$es la relación inversa de R sobre Y y X .

Por ejemplo, = es el inverso de sí mismo, como es ${\displaystyle \,\neq ,\,}$ y ${\displaystyle \,<\,}$ y ${\displaystyle \,>\,}$ son recíprocos, como son ${\displaystyle \,\leq \,}$ y ${\displaystyle \,\geq .\,}$Una relación binaria es igual a su recíproca si y solo si es simétrica .

Complemento

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y, entonces${\displaystyle {\overline {R}}=\{(x,y):{\text{ not }}xRy\}}$(también denotada por R o ¬ R ) es la relación complementaria de R sobre X y Y .

Por ejemplo, ${\displaystyle \,=\,}$ y ${\displaystyle \,\neq \,}$ son el complemento de cada uno, al igual que ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ y ${\displaystyle \,\not \subseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ y ${\displaystyle \,\not \supseteq ,\,}$ y ${\displaystyle \,\in \,}$ y ${\displaystyle \,\not \in ,\,}$y, para pedidos totales , también <y${\displaystyle \,\geq ,\,}$ y> y ${\displaystyle \,\leq .\,}$

El complemento de la relación inversa ${\displaystyle R^{T}}$ es el inverso del complemento: ${\displaystyle {\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.}$

Si ${\displaystyle X=Y,}$ el complemento tiene las siguientes propiedades:

• Si una relación es simétrica, también lo es el complemento.
• El complemento de una relación reflexiva es irreflexivo y viceversa.
• El complemento de una orden estrictamente débil es una preorden total, y viceversa.

Restricción

Si R es una relación binaria homogénea sobre un conjunto X y S es un subconjunto de X, entonces${\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)|xRy{\text{ and }}x\in S{\text{ and }}y\in S\}}$ es el relación de restricción deRaSsobreX.

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y y si S es un subconjunto de X, entonces${\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)|xRy{\text{ and }}x\in S\}}$ es el relación de restricción de la izquierda deRaSmás deXyY.

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y y si S es un subconjunto de Y, entonces${\displaystyle R^{\vert S}=\{(x,y)|xRy{\text{ and }}y\in S\}}$ es el relación de restricción de la derecha deRaSmás deXyY.

Si una relación es reflexiva , irreflexive, simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , total de , tricotómica , un orden parcial , orden total , estricto orden débil , preorden total de (orden débil), o un relación de equivalencia , entonces también lo son sus restricciones.

Sin embargo, el cierre transitivo de una restricción es un subconjunto de la restricción del cierre transitivo, es decir, en general no es igual. Por ejemplo, al restringir la relación " x es madre de y " a las mujeres, se obtiene la relación " x es madre de la mujer y "; su cierre transitivo no relaciona a una mujer con su abuela paterna. Por otro lado, la clausura transitiva de "es padre de" es "es antepasado de"; su restricción a las mujeres relaciona a una mujer con su abuela paterna.

Además, los diversos conceptos de completitud (que no debe confundirse con ser "total") no se transfieren a las restricciones. Por ejemplo, sobre los números reales una propiedad de la relación${\displaystyle \,\leq \,}$es que cada subconjunto no vacío${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$con un límite superior en${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene un límite superior mínimo (también llamado supremum) en${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Sin embargo, para los números racionales este supremo no es necesariamente racional, por lo que la misma propiedad no se aplica a la restricción de la relación ${\displaystyle \,\leq \,}$ a los números racionales.

Una relación binaria R sobre conjuntos X e Y se dice que escontenido en una relaciónSsobreXeY, escrito${\displaystyle R\subseteq S,}$si R es un subconjunto de S , es decir, para todos${\displaystyle x\in X}$ y ${\displaystyle y\in Y,}$si xRy , entonces xSy . Si R está contenido en S y S está contenido en R , entonces R y S se llaman igual escrito R = S . Si R está contenido en S pero S no está contenido en R , entonces se dice que R esmás pequeño queS, escrito${\displaystyle R\subsetneq S.}$Por ejemplo, en los números racionales , la relación${\displaystyle \,>\,}$ es más pequeña que ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ e igual a la composición ${\displaystyle \,>\,\circ \,>.\,}$

Representación matricial

Las relaciones binarias sobre los conjuntos X e Y se pueden representar algebraicamente mediante matrices lógicas indexadas por X e Y con entradas en el semiringuito booleano (la suma corresponde a OR y la multiplicación a AND) donde la suma de matrices corresponde a la unión de relaciones, la multiplicación de matrices corresponde a la composición de relaciones (de una relación sobre X e Y y una relación sobre Y y Z ), ^[21] el producto de Hadamard corresponde a la intersección de relaciones, la matriz cerocorresponde a la relación vacía, y la matriz de unos corresponde a la relación universal. Las relaciones homogéneas (cuando X = Y ) forman una matriz semiring (de hecho, una matriz semialgebra sobre la semiring booleana) donde la matriz identidad corresponde a la relación identidad. ^[22]

Conjuntos versus clases

Ciertas "relaciones" matemáticas, como "igual a", "subconjunto de" y "miembro de", no pueden entenderse como relaciones binarias como se definen anteriormente, porque sus dominios y codominios no pueden tomarse como conjuntos en los sistemas habituales. de la teoría axiomática de conjuntos . Por ejemplo, para modelar el concepto general de "igualdad" como una relación binaria${\displaystyle \,=,}$ tome el dominio y el codominio como la "clase de todos los conjuntos", que no es un conjunto en la teoría de conjuntos habitual.

En la mayoría de los contextos matemáticos, las referencias a las relaciones de igualdad, pertenencia y subconjunto son inofensivas porque pueden entenderse implícitamente como restringidas a algún conjunto en el contexto. La solución habitual a este problema es seleccionar un conjunto A "suficientemente grande" , que contenga todos los objetos de interés, y trabajar con la restricción = _{A en} lugar de =. De manera similar, la relación "subconjunto de"${\displaystyle \,\subseteq \,}$debe restringirse para tener dominio y codominio P ( A ) (el conjunto de potencia de un conjunto específico A ): la relación de conjunto resultante se puede denotar por${\displaystyle \,\subseteq _{A}.\,}$Además, la relación "miembro de" debe restringirse para tener el dominio A y el codominio P ( A ) para obtener una relación binaria.${\displaystyle \,\in _{A}\,}$eso es un conjunto. Bertrand Russell ha demostrado que asumiendo${\displaystyle \,\in \,}$ser definido sobre todos los conjuntos conduce a una contradicción en la teoría de conjuntos ingenua.

Otra solución a este problema es utilizar una teoría de conjuntos con clases adecuadas, como NBG o teoría de conjuntos de Morse-Kelley , y permitir que el dominio y el codominio (y por tanto el gráfico) sean clases adecuadas : en tal teoría, igualdad, pertenencia , y subconjunto son relaciones binarias sin comentarios especiales. (Es necesario hacer una modificación menor al concepto de triple ordenado ( X , Y , G ) , ya que normalmente una clase adecuada no puede ser miembro de una tupla ordenada; o, por supuesto, se puede identificar la relación binaria con su gráfico en este contexto.) ^[23] Con esta definición se puede, por ejemplo, definir una relación binaria sobre cada conjunto y su conjunto de potencias.

Relación homogénea

Una relación homogénea sobre un conjunto X es una relación binaria sobre X y él mismo, es decir, es un subconjunto del producto cartesiano${\displaystyle X\times X.}$^{[15] [24] [25]} es también llamado simplemente una relación (binario) sobre X .

Una relación homogénea R sobre un conjunto X puede identificarse con un gráfico simple dirigido que permite bucles , donde X es el conjunto de vértices y R es el conjunto de aristas (hay una arista desde un vértice x a un vértice y si y solo si xRy ) . El conjunto de todas las relaciones homogéneas.${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$sobre un conjunto X es el conjunto de potencia ${\displaystyle 2^{X\times X}}$que es un álgebra booleana aumentada con la involución del mapeo de una relación a su relación inversa . Considerando la composición de relaciones como una operación binaria en${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$, forma un semigrupo con involución .

Algunas propiedades importantes que puede tener una relación homogénea R sobre un conjunto X son:

• Reflexivo : para todos${\displaystyle x\in X,}$ xRx . Por ejemplo,${\displaystyle \,\geq \,}$ es una relación reflexiva pero> no lo es.
• Irreflexivo : para todos${\displaystyle x\in X,}$no xRx . Por ejemplo,${\displaystyle \,>\,}$ es una relación irreflexiva, pero ${\displaystyle \,\geq \,}$ no es.
• Simétrico : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$si xRy entonces yRx . Por ejemplo, "es un pariente consanguíneo de" es una relación simétrica.
• Antisimétrico : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$si xRy y yRx entonces${\displaystyle x=y.}$ Por ejemplo, ${\displaystyle \,\geq \,}$es una relación antisimétrica. ^[26]
• Asimétrico : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$si xRy entonces no yRx . Una relación es asimétrica si y solo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva. ^[27] Por ejemplo,> es una relación asimétrica, pero${\displaystyle \,\geq \,}$ no es.
• Transitivo : para todos${\displaystyle x,y,z\in X,}$Si xRy y yRz continuación xRz . Una relación transitiva es irreflexiva si y solo si es asimétrica. ^[28] Por ejemplo, "es antepasado de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.
• Conectado : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$ Si ${\displaystyle x\neq y}$luego xRy o yRx .
• Fuertemente conectado : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$ xRy o yRx .

Un orden parcial es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden parcial estricto es una relación irreflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden total es una relación reflexiva, antisimétrica, transitiva y conectada. ^[29] Un orden total estricto es una relación que es irreflexiva, antisimétrica, transitiva y conectada. Una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Por ejemplo, " x divide y " es un orden parcial, pero no total, en números naturales. ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$" x < y " es un orden total estricto en${\displaystyle \mathbb {N} ,}$y " x es paralelo ay " es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las líneas en el plano euclidiano .

Todas las operaciones definidas en la sección Operaciones sobre relaciones binarias también se aplican a relaciones homogéneas. Más allá de eso, una relación homogénea sobre un conjunto X puede estar sujeta a operaciones de cierre como:

• Cierre reflexivo : la relación reflexiva (única) sobre X que contiene R ,
• Cierre transitivo : la relación transitiva más pequeña sobre X que contiene R ,
• Cierre de equivalencia : la más pequeña relación de equivalencia sobre X que contiene R .

Relación heterogénea

En matemáticas , una relación heterogénea es una relación binaria , un subconjunto de un producto cartesiano ${\displaystyle A\times B,}$donde A y B son conjuntos distintos. ^[30] El prefijo hetero es del griego ἕτερος ( heteros , "otro, otro, diferente").

Una relación heterogénea se ha llamado relación rectangular , ^[31] sugiriendo que no tiene la simetría cuadrada de una relación homogénea en un conjunto donde${\displaystyle A=B.}$Al comentar sobre el desarrollo de las relaciones binarias más allá de las relaciones homogéneas, los investigadores escribieron: "... ha evolucionado una variante de la teoría que trata las relaciones desde el principio como heterogéneas o rectangulares , es decir, como relaciones donde el caso normal es que sean relaciones entre diferentes conjuntos ". ^[32]

Cálculo de relaciones

Los desarrollos en lógica algebraica han facilitado el uso de relaciones binarias. El cálculo de relaciones incluye el álgebra de conjuntos , ampliado por la composición de relaciones y el uso de relaciones recíprocas . La inclusión${\displaystyle R\subseteq S,}$lo que significa que aRb implica aSb , establece el escenario en un entramado de relaciones. Pero desde${\displaystyle P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P),}$el símbolo de inclusión es superfluo. Sin embargo, la composición de las relaciones y la manipulación de los operadores según las reglas de Schröder , proporciona un cálculo para trabajar en el conjunto de potencias de${\displaystyle A\times B.}$

A diferencia de las relaciones homogéneas, la composición de la operación de relaciones es solo una función parcial . La necesidad de hacer coincidir el rango con el dominio de las relaciones compuestas ha llevado a la sugerencia de que el estudio de las relaciones heterogéneas es un capítulo de la teoría de categorías como en la categoría de conjuntos , excepto que los morfismos de esta categoría son relaciones. Los objetos de la categoría Rel son conjuntos, y los morfismos de relación se componen como se requiere en una categoría . ^{[ cita requerida ]}

Celosía de concepto inducido

Las relaciones binarias se han descrito a través de sus redes de conceptos inducidos : Un concepto C ⊂ R satisface dos propiedades: (1) La matriz lógica de C es el producto externo de vectores lógicos

${\displaystyle C_{ij}\ =\ u_{i}v_{j},\quad u,v}$vectores lógicos. ^{[ aclaración necesaria ]} (2) C es máxima, no está contenida en ningún otro producto exterior. Por tanto, C se describe como un rectángulo no ampliable.

Para una relación dada ${\displaystyle R\subseteq X\times Y,}$ el conjunto de conceptos, agrandados por sus uniones y encuentros, forma un "entramado inducido de conceptos", con inclusión ${\displaystyle \sqsubseteq }$formando un pedido anticipado .

El teorema de compleción de MacNeille (1937) (que cualquier orden parcial puede estar incrustado en un retículo completo ) se cita en un artículo de encuesta de 2013 "Descomposición de relaciones en retículos de conceptos". ^[33] La descomposición es

${\displaystyle R\ =\ f\ E\ g^{T},}$donde f y g son funciones , llamadas mapeos o relaciones univalentes de total izquierdo en este contexto. El "concepto de celosía inducida es isomorfo a la terminación del corte del orden parcial E que pertenece a la descomposición mínima ( f, g, E ) de la relación R ".

Los casos particulares se consideran a continuación: el orden total E corresponde al tipo Ferrers, y la identidad E corresponde a difuncional, una generalización de la relación de equivalencia en un conjunto.

Las relaciones pueden clasificarse según el rango de Schein, que cuenta el número de conceptos necesarios para cubrir una relación. ^[34] El análisis estructural de las relaciones con los conceptos proporciona un enfoque para la minería de datos . ^[35]

Relaciones particulares

• Proposición : si R es una relación serial y R ^T es su transpuesta, entonces${\displaystyle I\subseteq R^{T}R}$ donde ${\displaystyle I}$es la relación de identidad m × m .
• Proposición : si R es una relación sobreyectiva , entonces${\displaystyle I\subseteq RR^{T}}$ donde ${\displaystyle I}$ es el ${\displaystyle n\times n}$ Relación de identidad.

Difuncional

Entre las relaciones homogéneas de un conjunto, las relaciones de equivalencia se distinguen por su capacidad para dividir el conjunto. Con las relaciones binarias en general, la idea es dividir objetos distinguiendo atributos. Una forma de hacerlo es con un conjunto intermedio${\displaystyle Z=\{x,y,z,\ldots \}}$de indicadores . La relación de partición${\displaystyle R=FG^{\text{T}}}$es una composición de relaciones usando relaciones univalentes${\displaystyle F\subseteq A\times Z{\text{ and }}G\subseteq B\times Z.}$

La matriz lógica de tal relación R se puede reorganizar como una matriz de bloques con bloques de unos a lo largo de la diagonal. En términos del cálculo de relaciones, en 1950 Jacques Riguet demostró que tales relaciones satisfacen la inclusión

${\displaystyle R\ R^{T}\ R\ \subseteq \ R.}$^[36]

Llamó a estas relaciones difuncionales ya que la composición FG ^T involucra relaciones univalentes, comúnmente llamadas funciones .

Usando la notación { y : xRy } = xR , una relación difuncional también se puede caracterizar como una relación R tal que siempre que x ₁ R y x ₂ R tienen una intersección no vacía, estos dos conjuntos coinciden; formalmente${\displaystyle x_{1}\cap x_{2}\neq \varnothing }$ implica ${\displaystyle x_{1}R=x_{2}R.}$^[37]

En 1997, los investigadores encontraron "utilidad de la descomposición binaria basada en dependencias difuncionales en la gestión de bases de datos ". ^[38] Además, las relaciones difuncionales son fundamentales en el estudio de las bisimulaciones . ^[39]

En el contexto de relaciones homogéneas, una relación de equivalencia parcial es difuncional.

En la teoría de autómatas , el término relación rectangular también se ha utilizado para denotar una relación difuncional. Esta terminología recuerda el hecho de que, cuando se representa como una matriz lógica, las columnas y filas de una relación difuncional se pueden organizar como una matriz diagonal de bloques con bloques rectangulares de verdadero en la diagonal principal (asimétrica). ^[40]

Tipo Ferrers

Un orden estricto en un conjunto es una relación homogénea que surge en la teoría del orden . En 1951, Jacques Riguet adoptó el orden de una partición de un número entero, llamado diagrama de Ferrers , para extender el orden a las relaciones binarias en general. ^[41]

La matriz lógica correspondiente de una relación binaria general tiene filas que terminan con una secuencia de unos. Así, los puntos de un diagrama de Ferrer se cambian a unos y se alinean a la derecha en la matriz.

Un enunciado algebraico requerido para una relación de tipo Ferrers R es

$${\displaystyle R{\bar {R}}^{T}R\subseteq R.}$$

Si alguno de los parientes ${\displaystyle R,\ {\bar {R}},\ R^{T}}$es del tipo Ferrers, entonces todos lo son.^[30]

Contacto

Supongamos que B es el conjunto potencia de A , el conjunto de todos los subconjuntos de A . Entonces una relación g es una relación de contacto si satisface tres propiedades:

1. ${\displaystyle {\text{for all }}x\in A,Y=\{x\}{\text{ implies }}xgY.}$
2. ${\displaystyle Y\subseteq Z{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.}$
3. ${\displaystyle {\text{for all }}y\in Y,ygZ{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.}$

La relación de pertenencia al conjunto , ε = "es un elemento de", satisface estas propiedades, por lo que ε es una relación de contacto. La noción de una relación de contacto general fue introducida por Georg Aumann en 1970. ^{[42] [43]}

En términos del cálculo de relaciones, las condiciones suficientes para una relación de contacto incluyen

$${\displaystyle C^{T}{\bar {C}}\ \subseteq \ \ni {\bar {C}}\ \ \equiv \ C\ {\overline {\ni {\bar {C}}}}\ \subseteq \ C,}$$

donde ${\displaystyle \ni }$es el inverso de la pertenencia al conjunto (∈). ^{[44] : 280}

Reservar R \ R

Cada relación R genera un preorden ${\displaystyle R\backslash R}$que es el residual de la izquierda . ^[45] En términos de conversar y complementar,${\displaystyle R\backslash R\ \equiv \ {\overline {R^{T}{\bar {R}}}}.}$ Formando la diagonal de ${\displaystyle R^{T}{\bar {R}}}$, la fila correspondiente de ${\displaystyle R^{\text{T}}}$ y columna de ${\displaystyle {\bar {R}}}$será de valores lógicos opuestos, por lo que la diagonal es todo ceros. Luego

${\displaystyle R^{T}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\ \implies \ I\subseteq {\overline {R^{T}{\bar {R}}}}\ =\ R\backslash R,}$ así que eso ${\displaystyle R\backslash R}$es una relación reflexiva .

Para mostrar la transitividad , se requiere que${\displaystyle (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$ Recordar que ${\displaystyle X=R\backslash R}$ es la relación más grande tal que ${\displaystyle RX\subseteq R.}$ Luego

${\displaystyle R(R\backslash R)\subseteq R}$

${\displaystyle R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R}$ (repetir)

${\displaystyle \equiv R^{T}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}}$ (Regla de Schröder)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{T}{\bar {R}}}}}$ (complementación)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$ (definición)

La relación de inclusión Ω sobre el conjunto de potencias de U se puede obtener de esta forma a partir de la relación de pertenencia ${\displaystyle \,\in \,}$en subconjuntos de U :

${\displaystyle \Omega \ =\ {\overline {\ni {\bar {\in }}}}\ =\ \in \backslash \in .}$^{[44] : 283}

Margen de una relación

Dada una relación R , una subrelación llamada su franja se define como

$${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R\cap {\overline {R{\bar {R}}^{T}R}}.}$$

Cuando R es una relación parcial de identidad, difuncional, o una relación diagonal de bloques, a continuación, la franja ( R ) = R . De lo contrario, el operador de franjas selecciona una subrelación de límite descrita en términos de su matriz lógica: franja ( R ) es la diagonal lateral si R es un orden lineal triangular superior derecho o un orden estricto . Fringe ( R ) es la franja del bloque si R es irreflexivo (${\displaystyle R\subseteq {\bar {I}}}$) o bloque triangular superior derecho. Fringe ( R ) es una secuencia de rectángulos limítrofes cuando R es del tipo Ferrers.

Por otro lado, Fringe ( R ) = ∅ cuando R es un orden denso , lineal y estricto. ^[44]

Montones matemáticos

Dados dos conjuntos A y B , el conjunto de relaciones binarias entre ellos${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$puede equiparse con una operación ternaria ${\displaystyle [a,\ b,\ c]\ =\ ab^{T}c}$donde b ^T denota la relación inversa de b . En 1953, Viktor Wagner utilizó las propiedades de esta operación ternaria para definir semi-montones, montones y montones generalizados. ^{[46] [47]} El contraste de relaciones heterogéneas y homogéneas se destaca por estas definiciones:

Hay una agradable simetría en la obra de Wagner entre montones, semi montones y montones generalizados por un lado, y grupos, semigrupos y grupos generalizados por el otro. Esencialmente, los diversos tipos de semiheaps aparecen cuando consideramos relaciones binarias (y parciales uno-uno asignaciones) entre diferentes conjuntos A y B , mientras que los diversos tipos de semigroups aparecen en el caso en el que A = B .

-  Christopher Hollings, "Matemáticas al otro lado del Telón de Acero: una historia de la teoría algebraica de semigrupos" ^[48]

Ver también

• Sistema de reescritura abstracta
• Relación aditiva , un homomorfismo multivaluado entre módulos
• Alegoría (teoría de categorías)
• Categoría de relaciones , una categoría que tiene conjuntos como objetos y relaciones binarias como morfismos
• Confluencia (reescritura de términos) , analiza varias propiedades inusuales pero fundamentales de las relaciones binarias
• Correspondencia (geometría algebraica) , una relación binaria definida por ecuaciones algebraicas
• Diagrama de Hasse , un medio gráfico para mostrar una relación de orden
• Estructura de incidencia , una relación heterogénea entre un conjunto de puntos y líneas.
• Lógica de los parientes , una teoría de las relaciones por Charles Sanders Peirce
• Teoría del orden , investiga las propiedades de las relaciones de orden.

Notas

1. autores que se ocupan de las relaciones binarias sólo como un caso especial derelaciones n -arias para n arbitrariossuelen escribir Rxy como un caso especial de Rx ₁ ... x _n ( notación de prefijo ). ^[9]

Referencias

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Enlaces externos

• Medios relacionados con las relaciones binarias en Wikimedia Commons
• "Relación binaria" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]