Kernel (álgebra lineal)
En matemáticas , el núcleo de un mapa lineal , también conocido como espacio nulo o espacio nulo , es el subespacio lineal del dominio del mapa que se asigna al vector cero. [1] Es decir, dado un mapa lineal L : V → W entre dos espacios vectoriales V y W , el núcleo de L es el espacio vectorial de todos los elementos v de V tal que L ( v ) = 0 , donde0 denota el vector cero en W , [2] o más simbólicamente:
El núcleo de L es un subespacio lineal del dominio V. [3] [2] En el mapa lineal dos elementos de V tienen la misma imagen en W si y solo si su diferencia está en el núcleo de L , es decir,
Cuando V es un espacio de producto interno , el cociente se puede identificar con el complemento ortogonal en V de Esta es la generalización a operadores lineales del espacio de fila , o coimagen, de una matriz.
La noción de núcleo también tiene sentido para homomorfismos de módulos , que son generalizaciones de espacios vectoriales donde los escalares son elementos de un anillo , en lugar de un campo . El dominio del mapeo es un módulo, con el núcleo constituyendo un submódulo . Aquí no se aplican necesariamente los conceptos de rango y nulidad.
Si V y W son espacios vectoriales topológicos tales que W es de dimensión finita, entonces un operador lineal L : V → W es continuo si y solo si el núcleo de L es un subespacio cerrado de V .
Considere un mapa lineal representado como una matriz A de m × n con coeficientes en un campo K (típicamente o ), que opera en vectores de columna x con n componentes sobre K . El núcleo de este mapa lineal es el conjunto de soluciones a la ecuación Ax = 0 , donde 0 se entiende como el vector cero . La dimensión del núcleo de A se llama la nulidad de A. En notación constructora de conjuntos ,
