En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un operador lineal continuo o mapeo lineal continuo es una transformación lineal continua entre espacios vectoriales topológicos .
Un operador entre dos espacios normativos es un operador lineal acotado si y solo si es un operador lineal continuo.
Operadores lineales continuos
Caracterizaciones de continuidad
Suponga que F : X → Y es un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS). Los siguientes son equivalentes:
- F es continua en 0 en X .
- F es continua en un cierto punto x 0 ∈ X .
- F es continua en todas partes en X
y si Y es localmente convexo , podemos agregar a esta lista:
y si X e Y son espacios localmente convexos de Hausdorff, entonces podemos agregar a esta lista:
- F es débilmente continuo y su transposición t F : Y ' → X ' mapea subconjuntos equicontinuos de Y ' a subconjuntos equicontinuos de X ' .
y si X es pseudometrizable (es decir, si tiene una base de vecindad contable en el origen), podemos agregar a esta lista:
- F es un operador lineal acotado (es decir, asigna subconjuntos acotados de X a subconjuntos acotados de Y ). [2]
y si X e Y son espacios seminormados, podemos agregar a esta lista:
- para cada ε> 0 existe un δ> 0 tal que || x - y || <δ implica || Fx - Fy || <ε ;
y si Y está limitado localmente , podemos agregar a esta lista:
- F mapas alguna vecindad de 0 a un subconjunto acotado de Y . [3]
y si X e Y son TVS localmente convexos de Hausdorff con Y de dimensión finita, entonces podemos agregar a esta lista:
- la gráfica de F es cerrado en X × Y . [4]
Condiciones suficientes para la continuidad
Suponga que F : X → Y es un operador lineal entre dos TVS.
- Si existe una vecindad U de 0 en X tal que F ( U ) es un subconjunto acotado de Y , entonces F es continua. [2]
- Si X es un TVS pseudometrizable y F mapea subconjuntos acotados de X a subconjuntos acotados de Y , entonces F es continuo. [2]
Propiedades de los operadores lineales continuos
Un TVS localmente convexo metrizable es normalizable si y solo si cada funcional lineal en él es continuo.
Un operador lineal continuo mapea conjuntos delimitados en conjuntos delimitados.
La demostración utiliza los hechos de que la traducción de un conjunto abierto en un espacio topológico lineal es nuevamente un conjunto abierto, y la igualdad
- F −1 ( D ) + x 0 = F −1 ( D + F ( x 0 )) }}
para cualquier subconjunto D de Y y cualquier x 0 ∈ X , lo cual es cierto debido a la aditividad de F .
Funcionales lineales continuos
Cada funcional lineal en un TVS es un operador lineal, por lo que se les aplican todas las propiedades descritas anteriormente para los operadores lineales continuos. Sin embargo, debido a su naturaleza especializada, podemos decir más sobre los funcionales lineales continuos que sobre los operadores lineales continuos más generales.
Caracterización de funcionales lineales continuos
Deje X ser un espacio vectorial topológico (TVS) (no asumimos que X es Hausdorff o localmente convexa ) y dejamos que f sea un funcional lineal en X . Los siguientes son equivalentes: [1]
- f es continuo.
- f es continua en el origen.
- f es continua en un cierto punto de X .
- f es uniformemente continua en X .
- Existe alguna vecindad U del origen tal que f ( U ) está acotada. [2]
- El núcleo de f es cerrado en X . [2]
- O bien f = 0 o bien el núcleo de f es no denso en X . [2]
- Re f es continua, donde Re f denota la parte real de f .
- Existe un seminorma continuo p en X tal que | f | ≤ p .
- La gráfica de f está cerrada. [5]
y si X es pseudometrizable (es decir, si tiene una base de vecindad contable en el origen), podemos agregar a esta lista:
- f está acotado localmente (es decir, mapea subconjuntos acotados a subconjuntos acotados). [2]
y si además X es un espacio vectorial sobre los números reales (lo que en particular, implica que f tiene un valor real), entonces podemos agregar a esta lista:
- Existe una seminorma continua p en X tal que f ≤ p . [1]
- Para algún r real , el medio espacio { x ∈ X : f ( x ) ≤ r } es cerrado.
- La declaración anterior pero con la palabra "algunos" reemplazada por "cualquiera". [6]
y si X es un espacio vectorial topológico complejo (TVS), entonces podemos agregar a esta lista:
- La parte imaginaria de f es continua.
Por lo tanto, si X es un complejo, entonces los tres de f , Re f e Im f son continuos (resp. Acotados ), o bien los tres son discontinuos (resp. Ilimitados).
Condiciones suficientes para funcionales lineales continuos
- Toda función lineal en un espacio vectorial topológico de Hausdorff de dimensión finita es continua.
- Si X es un TVS, entonces cada funcional lineal acotado en X es continuo si y solo si cada subconjunto acotado de X está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita. [7]
Propiedades de funcionales lineales continuos
Si X es un complejo espacio normado y f es un funcional lineal en X , entonces || f || = || Re f || [8] (donde en particular, un lado es infinito si y solo si el otro lado es infinito).
Cada funcional lineal continuo no trivial en un TVS X es un mapa abierto . [1] Tenga en cuenta que si X es un espacio vectorial real, f es una funcional lineal en X , yp es una seminorma en X , entonces | f | ≤ p si y solo si f ≤ p . [1]
Ver también
- Operador lineal acotado
- Mapa lineal discontinuo
- Funcionales lineales
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Funcional lineal positivo
- Topologías en espacios de mapas lineales
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Operador ilimitado
Referencias
- ↑ a b c d e Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 126-128.
- ↑ a b c d e f g Narici y Beckenstein 2011 , págs. 156-175.
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 54.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 476.
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 63.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 50.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 128.
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