Funciones elípticas lemniscadas

En matemáticas , las funciones elípticas de la lemniscata son funciones elípticas relacionadas con la longitud del arco de la lemniscata de Bernoulli . Fueron estudiados por primera vez por Giulio Fagnano en 1718 y posteriormente por Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss , entre otros.

Las funciones lemniscata seno y lemniscata coseno , generalmente escritas con los símbolos sl y cl (a veces se usan los símbolos sinlem y coslem o sin lemn y cos lemn ) ^[1] son análogas a las funciones trigonométricas seno y coseno. Mientras que el seno trigonométrico relaciona la longitud del arco con la longitud de la cuerda en un círculo de diámetro unitario , el seno de la lemniscata relaciona la longitud del arco con la longitud de la cuerda de una lemniscata. ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}=x}$${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr)}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.}$

Las funciones de lemniscata tienen períodos relacionados con un número 2.622057... llamado constante de lemniscata , la relación entre el perímetro de una lemniscata y su diámetro.${\ estilo de visualización \ varpi =}$

Las funciones sl y cl tienen un retículo de período cuadrado (un múltiplo de los enteros gaussianos ) con períodos fundamentales ^[2] y son un caso especial de dos funciones elípticas de Jacobi en ese retículo, . ${\ estilo de visualización \ {(1 + i) \ varpi, (1-i) \ varpi \},}$${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sl} z = \ nombre del operador {sn} (z; i),}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cl} z = \ nombre del operador {cd} (z; i)}$

De manera similar, las funciones de lemniscata hiperbólica slh y clh tienen una red de períodos cuadrados con períodos fundamentales${\displaystyle {\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.}$

Las funciones de lemniscata y las funciones de lemniscata hiperbólica están relacionadas con la función elíptica de Weierstrass .${\ estilo de visualización \ wp (z; a, 0)}$

El seno de la lemniscata (rojo) y el coseno de la lemniscata (púrpura) aplicados a un argumento real, en comparación con el seno trigonométrico y = sin( πx / ϖ ) (rojo pálido discontinuo).

El seno y el coseno de la lemniscata relacionan la longitud del arco de un arco de la lemniscata con la distancia de un punto final desde el origen.

El seno y el coseno trigonométricos relacionan de manera análoga la longitud del arco de un círculo de diámetro unitario con la distancia de un punto final desde el origen.

El seno de la lemniscata relaciona la longitud del arco con la coordenada x en la elástica rectangular.

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sl} z}$en el plano complejo. ^[10] En la imagen, se puede ver que los períodos fundamentales y son "mínimos" en el sentido de que tienen el valor absoluto más pequeño de todos los períodos cuya parte real es no negativa.${\ estilo de visualización (1 + i) \ varpi}$${\ estilo de visualización (1-i) \ varpi}$

La constante de lemniscata es el doble del valor de la integral de lemniscata completa.

Curvas x ² ⊕ y ² = a para varios valores de a . A negativa en verde, a positiva en azul, a = ±1 en rojo, a = ∞ en negro.

El seno de la lemniscata hiperbólica (rojo) y el coseno de la lemniscata hiperbólica (púrpura) aplicados a un argumento real, en comparación con la tangente trigonométrica (rojo pálido discontinuo).

Con respecto a la curva de Fermat de cuarto grado , el seno de la lemniscata hiperbólica es análogo a la función tangente trigonométrica.${\ estilo de visualización x^{4}+y^{4}=1}$

"El mundo en una proyección quincuncial", de Peirce (1879).