En geometría , la lemniscata de Bernoulli es una curva plana definida a partir de dos puntos dados F 1 y F 2 , conocidos como focos , a una distancia 2 c entre sí como el lugar geométrico de los puntos P de modo que PF 1 · PF 2 = c 2 . La curva tiene una forma similar al número 8 y al símbolo ∞ . Su nombre proviene de lemniscatus , que en latín significa "decorado con cintas colgantes". Es un caso especial del óvalo de Cassini.y es una curva algebraica racional de grado 4.
Esta lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como una modificación de una elipse , que es el lugar geométrico de los puntos para los que la suma de las distancias a cada uno de los dos puntos focales fijos es una constante . Un óvalo de Cassini , por el contrario, es el lugar geométrico de los puntos para los que el producto de estas distancias es constante. En el caso de que la curva pase por el punto intermedio entre los focos, el óvalo es una lemniscata de Bernoulli.
Esta curva se puede obtener como la transformada inversa de una hipérbola , con el círculo de inversión centrado en el centro de la hipérbola (bisectriz de sus dos focos). También se puede dibujar mediante un enlace mecánico en forma de enlace de Watt , con las longitudes de las tres barras del enlace y la distancia entre sus extremos elegidos para formar un paralelogramo cruzado . [1]
Ecuaciones
Las ecuaciones pueden expresarse en términos de la distancia focal c o el ancho medio a de una lemniscata. Estos parámetros están relacionados como
- Su ecuación cartesiana es (hasta traslación y rotación):
- Como ecuación paramétrica :
- En coordenadas polares :
- Su ecuación en el plano complejo es:
- En coordenadas bipolares de dos centros :
- En coordenadas polares racionales :
Funciones de longitud de arco y elípticas
La determinación de la longitud de arco de los arcos de la lemniscata conduce a integrales elípticas , como se descubrió en el siglo XVIII. Alrededor de 1800, las funciones elípticas que invierten esas integrales fueron estudiadas por CF Gauss (en gran parte inédito en ese momento, pero alusiones en las notas a sus Disquisitiones Arithmeticae ). Las celosías de período son de una forma muy especial, siendo proporcionales a los enteros gaussianos . Por esta razón, el caso de funciones elípticas con multiplicación compleja por √ −1 se denomina caso lemniscatic en algunas fuentes.
Usando la integral elíptica
la fórmula de la longitud del arco se puede dar como
- .
Anglos
El siguiente teorema sobre los ángulos que ocurren en la lemniscata se debe al matemático alemán Gerhard Christoph Hermann Vechtmann , quien lo describió en 1843 en su disertación sobre lemniscatas. [2]
- F 1 y F 2 son los focos de la lemniscata, O es el punto medio del segmento de recta F 1 F 2 y P es cualquier punto de la lemniscata fuera de la recta que conecta F 1 y F 2 . La normal de n de la lemniscata en P intersecta la línea que conecta F 1 y F 2 en R . Ahora el ángulo interior del triángulo OPR en O es un tercio del ángulo exterior del triángulo en R . Además, el ángulo interior en P es el doble del ángulo interior en O .
Otras propiedades
- La lemniscata es simétrica a la línea que conecta sus focos F 1 y F 2 y también a la bisectriz perpendicular del segmento de línea F 1 F 2 .
- La lemniscata es simétrica al punto medio del segmento de recta F 1 F 2 .
- El área encerrada por la lemniscata es un 2 .
- La lemniscata es la inversión circular de una hipérbola y viceversa.
- Las dos tangentes en el punto medio O son ortogonales y cada una de ellas forma un ángulo de con línea que conecta F 1 y F 2 .
- La sección transversal plana de un toro estándar tangente a su ecuador interno es una lemniscata.
Aplicaciones
La dinámica de esta curva y sus versiones más generalizadas se estudian en modelos cuasi unidimensionales.
Ver también
- Lemniscata de cabina
- Lemniscata de Gerono
- Constante de Gauss
- Función elíptica lemniscatic
- Óvalo de Cassini
Notas
- ^ Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008), ¿Qué tan redondo es su círculo? Donde se encuentran la ingeniería y las matemáticas , Princeton University Press, págs. 58–59 , ISBN 978-0-691-13118-4.
- ^ Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: geometría por su historia. Springer, 2012, págs.207-208
Referencias
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs. 4-5, 121-123, 145, 151, 184 . ISBN 0-486-60288-5.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Lemniscate" . MathWorld .
- "Lemniscate de Bernoulli" en el archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas
- "Lemniscate de Bernoulli" en MathCurve.
- Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli (en francés)