El punto simmediano , el punto Lemoine o el punto Grebe es la intersección de los tres simmedianos (medianas reflejadas en las bisectrices de los ángulos asociados) de un triángulo.
Ross Honsberger llamó a su existencia "una de las joyas de la corona de la geometría moderna". [1]
En la Enciclopedia de centros de triángulos, el punto simmediano aparece como el sexto punto, X (6). [2] Se encuentra en el disco ortocentroidal abierto perforado en su propio centro, y podría ser cualquier punto del mismo. [3]
El punto de un triángulo con el lado simediano longitudes de un , b y c tiene homogéneos coordenadas trilineales [ un : b : c ]. [2]
Una forma algebraica de encontrar el punto simmediano es expresar el triángulo mediante tres ecuaciones lineales en dos incógnitas dadas por las formas normales de Hesse de las líneas correspondientes. La solución de este sistema sobredeterminado encontrada por el método de mínimos cuadrados da las coordenadas del punto. También resuelve el problema de optimización para encontrar el punto con una suma mínima de distancias cuadradas desde los lados.
El punto de Gergonne de un triángulo es el mismo que el punto simmediano del triángulo de contacto del triángulo . [4]
El punto simmediano de un triángulo ABC se puede construir de la siguiente manera: deje que las rectas tangentes del círculo circunferencial de ABC a través de B y C se encuentren en A ', y defina análogamente B' y C '; entonces A'B'C 'es el triángulo tangencial de ABC, y las líneas AA', BB 'y CC' se cruzan en el punto simmediano de ABC. [5] Se puede demostrar que estas tres líneas se encuentran en un punto utilizando el teorema de Brianchon . La línea AA 'es un símbolo, como se puede ver dibujando el círculo con el centro A' a través de B y C. [ cita requerida ]
El matemático francés Émile Lemoine demostró la existencia del punto simmediano en 1873, y Ernst Wilhelm Grebe publicó un artículo sobre él en 1847. Simon Antoine Jean L'Huilier también había señalado el punto en 1809. [1]
Para la extensión a un tetraedro irregular, vea symmedian .
Referencias
- ↑ a b Honsberger, Ross (1995), "Chapter 7: The Symmedian Point", Episodios en geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , Washington, DC: Asociación Matemática de América.
- ↑ a b Encyclopedia of Triangle Centers , consultado el 6 de noviembre de 2014.
- ^ Bradley, Christopher J .; Smith, Geoff C. (2006), "Las ubicaciones de los centros de los triángulos" , Forum Geometricorum , 6 : 57–70.
- ^ Beban-Brkić, J .; Volenec, V .; Kolar-Begović, Z .; Kolar-Šuper, R. (2013), "En el punto Gergonne del triángulo en el plano isotrópico", Rad Hrvatske Akademije Znanosti i Umjetnosti , 17 : 95–106, MR 3100227.
- ^ Si ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en A, esta declaración debe modificarse eliminando la referencia a AA 'ya que el punto A' no existe.