En geometría , el círculo orthocentroidal de un no equilátero triángulo es el círculo que tiene del triángulo ortocentro y su centroide en extremos opuestos de un diámetro . Este diámetro también contiene el centro de nueve puntos del triángulo y es un subconjunto de la línea de Euler , que también contiene el circuncentro fuera del círculo ortocentroidal.
Guinand demostró en 1984 que el incentro del triángulo debe estar en el interior del círculo ortocentroidal, pero no coincidiendo con el centro de nueve puntos; es decir, debe caer en el disco ortocentroidal abierto perforado en el centro de nueve puntos. [1] [2] [3] [4] [5] : págs. 451–452 El incentro podría ser cualquier punto, dependiendo del triángulo específico que tenga ese disco ortocentroidal en particular. [3]
Además, [2] el punto de Fermat , el punto de Gergonne y el punto simmediano están en el disco ortocentroidal abierto perforado en su propio centro (y podría estar en cualquier punto del mismo), mientras que el segundo punto de Fermat y el punto de Feuerbach están en el exterior. del círculo ortocentroidal. El conjunto de ubicaciones potenciales de uno u otro de los puntos de Brocard es también el disco ortocentroidal abierto. [6]
El cuadrado del diámetro del círculo ortocentroidal es [7] : p.102 donde a, b, y c son longitudes de los lados del triángulo y D es el diámetro de su circunferencia circunscrita .
Referencias
- ^ Guinand, Andrew P. (1984), "Líneas de Euler, centros tritangentes y sus triángulos", American Mathematical Monthly , 91 (5): 290-300, doi : 10.2307 / 2322671 , JSTOR 2322671.
- ^ a b Bradley, Christopher J .; Smith, Geoff C. (2006), "Las ubicaciones de los centros de los triángulos" , Forum Geometricorum , 6 : 57–70.
- ^ a b Stern, Joseph (2007), "Problema de determinación del triángulo de Euler" (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9.
- ^ Franzsen, William N. (2011), "La distancia desde el incentro a la línea de Euler" , Forum Geometricorum , 11 : 231-236.
- ^ Leversha, Gerry; Smith, GC (noviembre de 2007), "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417.
- ^ Bradley, Christopher J .; Smith, Geoff C. (2006), "Las ubicaciones de los puntos Brocard" , Forum Geometricorum , 6 : 71–77.
- ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).