Colector de Stein

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En matemáticas, en la teoría de varias variables complejas y variedades complejas , una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas . Fueron introducidos y nombrados en honor a Karl Stein  ( 1951 ). Un espacio Stein es similar a una variedad Stein pero se le permite tener singularidades. Los espacios de Stein son análogos de variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica.

Supongamos que es una variedad compleja de dimensión compleja y denotemos el anillo de funciones holomórficas en Llamamos una variedad de Stein si se cumplen las siguientes condiciones:${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$

Sea X una superficie de Riemann no compacta y conectada . Un teorema profundo de Heinrich Behnke y Stein (1948) afirma que X es una variedad de Stein.

Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), afirma además que todo paquete de vectores holomórficos en X es trivial. En particular, cada paquete de líneas es trivial, entonces . La secuencia exponencial de la gavilla conduce a la siguiente secuencia exacta:${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}) = 0}$

Ahora bien, el teorema B de Cartan muestra eso , por lo tanto .${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = 0}$${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) = 0}$

Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada de espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiental (porque la incrustación es biholomórfica).

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