En matemáticas , el teorema de Lie-Kolchin es un teorema en la teoría de representación de grupos algebraicos lineales ; El teorema de Lie es análogo a las álgebras de Lie lineales .
Establece que si G es un grupo algebraico lineal conectado y resoluble definido sobre un campo algebraicamente cerrado y
una representación en un espacio vectorial V de dimensión finita distinto de cero , entonces hay un subespacio lineal unidimensional L de V tal que
Es decir, ρ ( G ) tiene una línea L invariante , sobre la que G actúa por tanto a través de una representación unidimensional. Esto es equivalente a la afirmación de que V contiene un vector v distinto de cero que es un vector propio común (simultáneo) para todos.
De ello se deduce directamente que toda representación irreducible de dimensión finita de un grupo algebraico lineal G conectado y resoluble tiene dimensión uno. De hecho, esta es otra forma de enunciar el teorema de Lie-Kolchin.
El resultado para álgebras de Lie fue probado por Sophus Lie ( 1876 ) y para grupos algebraicos fue probado por Ellis Kolchin ( 1948 , p.19).
El teorema del punto fijo de Borel generaliza el teorema de Lie-Kolchin.
Triangularización
A veces, el teorema también se conoce como el teorema de triangularización de Lie-Kolchin porque por inducción implica que, con respecto a una base adecuada de V, la imagentiene forma triangular ; en otras palabras, el grupo de imágenesse conjuga en GL ( n , K ) (donde n = dim V ) a un subgrupo del grupo T de matrices triangulares superiores , el subgrupo Borel estándar de GL ( n , K ): la imagen es simultáneamente triangularizable .
El teorema se aplica en particular a un subgrupo Borel de un semisimple lineal algebraica grupo G .
Contraejemplo
Si el campo K no está algebraicamente cerrado, el teorema puede fallar. El círculo unitario estándar , visto como el conjunto de números complejos de valor absoluto uno es un grupo algebraico lineal conmutativo unidimensional (y por lo tanto resoluble) sobre los números reales que tiene una representación bidimensional en el grupo ortogonal especial SO (2) sin una línea invariante (real). Aqui la imagen de es la matriz ortogonal
Referencias
- Gorbatsevich, VV (2001) [1994], "Teorema de Lie-Kolchin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Kolchin, ER (1948), "Grupos matriciales algebraicos y la teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Annals of Mathematics , Second Series, 49 (1): 1-42, doi : 10.2307 / 1969111 , ISSN 0003- 486x , JSTOR 1.969.111 , MR 0.024.884 , Zbl 0.037,18701
- Lie, Sophus (1876), "Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung II" , Archiv para Mathematik og Naturvidenskab , 1 : 152-193
- Waterhouse, William C. (2012) [1979], "10. Grupos nilpotentes y solubles §10.2 El teorema de triangularización de Lie-Kolchin" , Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de posgrado en matemáticas, 66 , Springer, págs. 74-75, ISBN 978-1-4612-6217-6