En matemáticas , la fórmula del producto de Lie , llamada así por Sophus Lie (1875), pero también ampliamente llamada fórmula del producto de Trotter , [1] llamada así por Hale Trotter , establece que para matrices A y B arbitrarias n × n reales o complejas , [2 ]
donde e A indica la matriz exponencial de A . El -Lie Trotter fórmula de producto ( Trotter 1959 ) y el teorema de Trotter-Kato ( Kato 1978 ) se extienden esta a ciertos operadores lineales acotados A y B . [3]
Esta fórmula es análoga a la ley exponencial clásica
el cual se cumple para todos los números reales o complejos x e y . Si x y y se sustituyen con matrices A y B , y la exponencial sustituye con una matriz exponencial , por lo general es necesario para A y B para conmutar para que la ley todavía mantienen. Sin embargo, la fórmula del producto de Lie es válida para todas las matrices A y B , incluso las que no se conmutan.
La fórmula del producto de Lie está relacionada conceptualmente con la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff , en el sentido de que ambas son reemplazos, en el contexto de los operadores no conmutados, de la ley exponencial clásica.
La fórmula tiene aplicaciones, por ejemplo, en la formulación integral de caminos de la mecánica cuántica. Permite separar el operador de evolución de Schrödinger ( propagador ) en incrementos alternos de operadores cinéticos y potenciales. La misma idea se utiliza en la construcción de métodos de división para la solución numérica de ecuaciones diferenciales . Además, el teorema del producto de Lie es suficiente para demostrar la fórmula de Feynman-Kac .
El teorema de Trotter-Kato se puede utilizar para la aproximación de semigrupos lineales de C 0 . [4]
Ver también
Referencias
- ^ Joel E. Cohen; Shmuel Friedland; Tosio Kato; FP Kelly (1982). "Desigualdades de valores propios para productos de matrices exponenciales" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 45 : 55–95. doi : 10.1016 / 0024-3795 (82) 90211-7 .
- ^ Teorema 2.11 de Hall 2015
- ^ Teorema 20.1 de Hall 2013
- ^ Ito, Kazufumi; Kappel, Franz (1998). "El teorema de Trotter-Kato y aproximación de PDE". Matemáticas de la Computación . 67 (221): 21–44. JSTOR 2584971 .
- Sophus Lie y Friedrich Engel (1888, 1890, 1893). Theorie der Transformationsgruppen (primera edición, Leipzig; segunda edición, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
- Albeverio, Sergio A .; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction , Lecture Notes in Mathematics, 423 (1ra ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0079827 , hdl : 10852/44049 , ISBN 978-3-540-07785-5.
- Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
- "Fórmula del producto Trotter" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Kato, Tosio (1978), "Fórmula de producto de Trotter para un par arbitrario de semigrupos de contracción autoadjuntos", Temas de análisis funcional (ensayos dedicados a MG Kreĭn con motivo de su 70 cumpleaños) , Adv. en matemáticas. Supl. Stud., 3 , Boston, MA: Academic Press , págs. 185-195, MR 0538020
- Trotter, HF (1959), "Sobre el producto de semi-grupos de operadores", Proceedings of the American Mathematical Society , 10 (4): 545–551, doi : 10.2307 / 2033649 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033649 , MR 0108732
- Joel E. Cohen; Shmuel Friedland; Tosio Kato; FP Kelly (1982), "Desigualdades de valores propios para productos de matrices exponenciales" (PDF) , Álgebra lineal y sus aplicaciones , 45 : 55–95, doi : 10.1016 / 0024-3795 (82) 90211-7
- Varadarajan, VS (1984), grupos de mentiras, álgebras de mentiras y sus representaciones , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1, págs.99.
- Suzuki, Masuo (1976). "Fórmula generalizada de Trotter y aproximaciones sistemáticas de operadores exponenciales y derivaciones internas con aplicaciones a problemas de muchos cuerpos". Comm. Matemáticas. Phys . 51 (2): 183-190. doi : 10.1007 / bf01609348 . S2CID 121900332 .