curvatura gaussiana
En geometría diferencial , la curvatura gaussiana o curvatura de Gauss Κ de una superficie en un punto es el producto de las curvaturas principales , κ 1 y κ 2 , en el punto dado:
El radio de curvatura gaussiano es el recíproco de Κ . Por ejemplo, una esfera de radio r tiene curvatura gaussiana 1 / r 2 en todas partes, y un plano y un cilindro tienen curvatura gaussiana cero en todas partes. La curvatura gaussiana también puede ser negativa, como en el caso de un hiperboloide o el interior de un toro .
La curvatura gaussiana es una medida intrínseca de la curvatura , que depende solo de las distancias que se miden en la superficie, no de la forma en que está incrustada isométricamente en el espacio euclidiano. Este es el contenido del Theorema egregium .
La curvatura gaussiana lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , quien publicó el Teorema egregium en 1827.
En cualquier punto de una superficie, podemos encontrar un vector normal que esté en ángulo recto con la superficie; Los planos que contienen el vector normal se llaman planos normales . La intersección de un plano normal y la superficie formará una curva llamada sección normal y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies, diferentes secciones normales tendrán diferentes curvaturas; los valores máximos y mínimos de estas se denominan curvaturas principales , llámese a estas κ 1 , κ 2 . La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales Κ = κ1 κ 2 .
La mayoría de las superficies contendrán regiones de curvatura gaussiana positiva (puntos elípticos) y regiones de curvatura gaussiana negativa separadas por una curva de puntos con curvatura gaussiana cero llamada línea parabólica .
