En matemáticas , el sistema de números reales afinamente extendido se obtiene del sistema de números realesagregando dos elementos infinitos : y , [a] donde los infinitos se tratan como números reales. [1] Es útil para describir el álgebra de infinitos y los diversos comportamientos limitantes en cálculo y análisis matemático , especialmente en la teoría de la medida y la integración . [2] El sistema de números reales afines extendido se denota o o . [3] Es la finalización Dedekind-MacNeille de los números reales.
Cuando el significado se desprende del contexto, el símbolo a menudo se escribe simplemente como . [3]
Motivación
Limites
Suele ser útil describir el comportamiento de una función. , ya sea como argumento o el valor de la función se vuelve "infinitamente grande" en cierto sentido. Por ejemplo, considere la función
La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en. Geométricamente, cuando se mueve cada vez más hacia la derecha a lo largo del-eje, el valor de se acerca a 0. Este comportamiento limitante es similar al límite de una función en el que el número real enfoques , excepto que no hay un número real al que enfoques.
Al unir los elementos y a , permite formular un "límite en el infinito", con propiedades topológicas similares a las de.
Para hacer las cosas completamente formales, la definición de secuencias de Cauchy de permite definir como el conjunto de todas las secuencias de números racionales, de modo que cada está asociado con un correspondiente para cual para todos . La definición de se puede construir de manera similar.
Medida e integración
En la teoría de medidas , a menudo es útil permitir conjuntos que tienen medidas infinitas e integrales cuyo valor puede ser infinito.
Tales medidas surgen naturalmente del cálculo. Por ejemplo, al asignar una medida aque está de acuerdo con la longitud habitual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. Además, al considerar integrales impropias , como
surge el valor "infinito". Finalmente, a menudo es útil considerar el límite de una secuencia de funciones, como
Sin permitir que las funciones tomen valores infinitos, resultados esenciales como el teorema de convergencia monótono y el teorema de convergencia dominado no tendrían sentido.
Orden y propiedades topológicas
El sistema de números reales afinadamente extendido se puede convertir en un conjunto totalmente ordenado , definiendo para todos . Con esta topología de orden ,tiene la propiedad deseable de compacidad : cada subconjunto detiene un supremum y un infimum [4] (el infimum del conjunto vacío es y su supremo es ). Además, con esta topología,es homeomorfo al intervalo unitario . Por tanto, la topología es metrizable , correspondiente (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este intervalo. No existe una métrica que sea una extensión de la métrica ordinaria en.
En esta topología, un conjunto es un barrio de, si y solo si contiene un conjunto por un número real . La noción de barrio dese puede definir de manera similar. Usando esta caracterización de vecindarios reales extendidos, los límites especialmente definidos para Tendiendo a y , y los conceptos especialmente definidos de límites iguales a y reducir a la definición topológica general de límites.
Operaciones aritmeticas
Las operaciones aritméticas de se puede extender parcialmente a como sigue: [3]
Para la exponenciación, consulte Exponenciación § Límites de potencias . Aquí "" significa ambos "" y "", mientras "" significa ambos "" y "".
Las expresiones y (llamadas formas indeterminadas ) generalmente no se definen . Estas reglas se basan en las leyes de límites infinitos . Sin embargo, en el contexto de la probabilidad o la teoría de la medida, a menudo se define como . [5]
Cuando se trata de números reales extendidos tanto positivos como negativos, la expresión generalmente se deja indefinido, porque, aunque es cierto que para cada secuencia real distinta de cero que converge a , la secuencia recíproca eventualmente está contenido en cada vecindario de , Que es no cierto que la secuencia debe converger en sí mismo o Dicho de otra manera, si una función continua alcanza un cero a un cierto valor entonces no tiene por qué ser el caso que tiende a o en el limite como tiende a . Este es el caso de los límites de la función identidad. Cuándo tiende a 0, y de (para la última función, ni ni es un límite de , incluso si solo valores positivos de son considerados).
Sin embargo, en contextos donde solo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definir . Por ejemplo, cuando se trabaja con series de potencias, el radio de convergencia de una serie de potencias con coeficientes a menudo se define como el recíproco del límite superior de la secuencia . Por lo tanto, si uno permite tomar el valor , entonces uno puede usar esta fórmula independientemente de si el límite superior es o no.
Propiedades algebraicas
Con estas definiciones, se no incluso un semigrupo , y mucho menos un grupo , un anillo o un campo como en el caso de. Sin embargo, tiene varias propiedades convenientes:
- y son iguales o ambos indefinidos.
- y son iguales o ambos indefinidos.
- y son iguales o ambos indefinidos.
- y son iguales o ambos indefinidos
- y son iguales si ambos están definidos.
- Si y si ambos y están definidos, entonces .
- Si y y si ambos y están definidos, entonces .
En general, todas las leyes de la aritmética son válidas en : Siempre que se definan todas las expresiones que aparecen.
Diverso
Varias funciones se pueden ampliar continuamente paratomando límites. Por ejemplo, se pueden definir los puntos extremos de las siguientes funciones como:
Además, se pueden eliminar algunas singularidades . Por ejemplo, la función se puede ampliar continuamente a (bajo algunas definiciones de continuidad), estableciendo el valor en por , y por y . Por otro lado, la funciónpuede no extenderse de forma continua, ya que la función se acerca como enfoques desde abajo, y como enfoques desde arriba.
Un sistema de línea real similar pero diferente, la línea real proyectada extendida , no distingue entre y (es decir, el infinito no está firmado). [6] Como resultado, una función puede tener un límite en la línea real proyectada extendida, mientras que en el sistema de números reales afín extendido, solo el valor absoluto de la función tiene un límite, por ejemplo, en el caso de la función a . Por otro lado, y corresponden en la línea real proyectada extendida a solo un límite desde la derecha y uno desde la izquierda, respectivamente, con el límite completo solo existiendo cuando los dos son iguales. Por tanto, las funciones y no se puede hacer continuo en en la línea real proyectada extendida.
Ver también
- División por cero
- Plano complejo extendido
- Números naturales extendidos
- Integral inadecuado
- infinito
- Registro de semiring
- Serie (matemáticas)
- Línea real proyectada extendida
- Representaciones informáticas de números reales extendidos, consulte Aritmética de punto flotante § Infinitos y punto flotante IEEE
Notas
- ^ leer como infinito positivo e infinito negativo respectivamente
Referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - infinito" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Wilkins, David (2007). "Sección 6: El sistema extendido de números reales" (PDF) . maths.tcd.ie . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Números reales afinamente extendidos" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (16 de enero de 2018). Análisis funcional aplicado (3 ed.). Chapman y Hall / CRC. pag. 74. ISBN 9781498761147. Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
- ^ "número real ampliado en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Números reales proyectados extendidos" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
Otras lecturas
- Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998), Principios del análisis real (3ª ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29, ISBN 0-12-050257-7, MR 1669668
- David W. Cantrell. "Números reales afinamente extendidos" . MathWorld .