En topología , la línea larga (o línea de Alexandroff ) es un espacio topológico algo similar a la línea real , pero en cierto modo "más largo". Se comporta localmente como la línea real, pero tiene diferentes propiedades a gran escala (por ejemplo, no es Lindelöf ni separable ). Por lo tanto, sirve como uno de los contraejemplos básicos de topología. [1] Intuitivamente, la línea habitual de números reales consiste en un número contable de segmentos de línea [0, 1) colocados de extremo a extremo, mientras que la línea larga se construye a partir de un número incontable de tales segmentos.
Definición
El rayo largo cerrado L se define como el producto cartesiano del primer ordinal incontable ω 1 con el intervalo semiabierto [0, 1), equipado con la topología de orden que surge del orden lexicográfico en ω 1 × [0, 1) . El rayo largo abierto se obtiene del rayo largo cerrado quitando el elemento más pequeño (0,0).
La línea larga se obtiene juntando un rayo largo en cada dirección. Más rigurosamente, se puede definir como la topología de orden en la unión disjunta del rayo largo abierto invertido ("invertido" significa que el orden está invertido) y el rayo largo cerrado (no invertido), totalmente ordenado dejando los puntos de este último ser mayor que los puntos del primero. Alternativamente, tome dos copias del rayo largo abierto e identifique el intervalo abierto {0} × (0, 1) de uno con el mismo intervalo del otro pero invirtiendo el intervalo, es decir, identifique el punto (0, t ) (donde t es un número real tal que 0 < t <1) del uno con el punto (0,1 - t ) del otro, y define la línea larga como el espacio topológico obtenido al pegar los dos rayos largos abiertos a lo largo del intervalo abierto identificado entre los dos. (La primera construcción es mejor en el sentido de que define el orden en la línea larga y muestra que la topología es la topología del orden; la segunda es mejor en el sentido de que utiliza encolado a lo largo de un conjunto abierto, que es más claro desde el punto de vista topológico. punto de vista.)
Intuitivamente, el rayo largo cerrado es como una media línea real (cerrada), excepto que es mucho más largo en una dirección: decimos que es largo en un extremo y cerrado en el otro. El rayo largo abierto es como la línea real (o equivalentemente una media línea abierta) excepto que es mucho más largo en una dirección: decimos que es largo en un extremo y corto (abierto) en el otro. La línea larga es más larga que las líneas reales en ambas direcciones: decimos que es larga en ambas direcciones.
Sin embargo, muchos autores hablan de la “línea larga” donde hemos hablado del rayo largo (cerrado o abierto), y hay mucha confusión entre los distintos espacios largos. En muchos usos o contraejemplos, sin embargo, la distinción no es esencial, porque la parte importante es el extremo "largo" de la línea, y no importa lo que suceda en el otro extremo (ya sea largo, corto o cerrado).
Un espacio relacionado, la (cerrado) extendido ray largo , L *, se obtiene como la compactación de un punto de L por contigua un elemento adicional en el extremo derecho de L . De manera similar, se puede definir la línea larga extendida agregando dos elementos a la línea larga, uno en cada extremo.
Propiedades
El rayo largo cerrado L = ω 1 × [0,1) consiste en un número incontable de copias de [0,1) 'pegadas juntas' de un extremo a otro. Compare esto con el hecho de que para cualquier α ordinal contable , pegar α copias de [0,1) da un espacio que todavía es homeomorfo (y orden-isomorfo) a [0,1). (Y si intentáramos unir más de ω 1 copias de [0,1), el espacio resultante ya no sería localmente homeomórfico para R ).
Cada secuencia creciente en L converge a un límite en L ; esto es una consecuencia del hecho de que (1) los elementos de ω 1 son los ordinales contables , (2) el supremo de cada familia contable de ordinales contables es un ordinal contable, y (3) toda secuencia creciente y acotada de números reales converge. En consecuencia, no puede haber estrictamente creciente función L → R . De hecho, toda función continua L → R es eventualmente constante.
Como topologías de orden, los rayos y líneas largos (posiblemente extendidos) son espacios de Hausdorff normales . Todos ellos tienen la misma cardinalidad que la línea real, pero son "mucho más largos". Todos ellos son localmente compactos . Ninguno de ellos es metrizable ; esto se puede ver como el rayo largo es secuencialmente compacto pero no compacto , ni siquiera Lindelöf .
La línea o raya larga (no extendida) no es paracompacta . Es camino conectados , localmente trayectoria-conectado y simplemente conexo , pero no contráctil . Es una variedad topológica unidimensional , con límite en el caso del rayo cerrado. Es contable en primer lugar pero no en segundo lugar y no separable , por lo que los autores que requieren las últimas propiedades en sus variedades no llaman a la línea larga una variedad. [2]
Tiene sentido considerar todos los espacios largos a la vez porque cada variedad topológica unidimensional (no necesariamente separable ) conectada (no vacía) posiblemente con límite, es homeomórfica para el círculo, el intervalo cerrado, el intervalo abierto (línea real ), el intervalo semiabierto, el rayo largo cerrado, el rayo largo abierto o la línea larga. [3]
La línea larga o rayo puede equiparse con la estructura de una variedad diferenciable (no separable) (con límite en el caso del rayo cerrado). Sin embargo, contrariamente a la estructura topológica que es única (topológicamente, solo hay una forma de hacer que la línea real sea "más larga" en cada extremo), la estructura diferenciable no es única: de hecho, hay incontables (para ser precisos) estructuras lisas no difeomórficas por pares en él. [4] Esto contrasta fuertemente con la línea real, donde también hay diferentes estructuras lisas, pero todas son difeomórficas a la estándar.
La línea larga o rayo puede incluso equiparse con la estructura de una variedad analítica (real) (con límite en el caso del rayo cerrado). Sin embargo, esto es mucho más difícil que para el caso diferenciable (depende de la clasificación de variedades analíticas unidimensionales (separables), que es más difícil que para las variedades diferenciables). Una vez más, cualquier dado C ∞ estructura puede extenderse en infinitamente muchos aspectos a diferente C ω (= analítica) estructuras (que son pairwise no difeomorfa como colectores analíticas). [5]
La línea larga o rayo no puede equiparse con una métrica de Riemann que induzca su topología. La razón es que se puede demostrar que las variedades de Riemann, incluso sin el supuesto de paracompactancia, son metrizables. [6]
El rayo largo extendido L * es compacto . Es la compactación de un punto del rayo de largo cerrada L , pero es también su compactación de Stone-Čech , porque cualquier función continua de la larga ray (cerrado o abierto) a la línea real es el tiempo constante. [7] L * también está conectado , pero no conectado con la ruta porque la línea larga es 'demasiado larga' para ser cubierta por una ruta, que es una imagen continua de un intervalo. L * no es una variedad y no se puede contar primero.
p -análogo ádico
Existe un análogo p -ádico de la línea larga, que se debe a George Bergman . [8]
Este espacio se construye como la unión creciente de un conjunto dirigido incontable de copias X γ del anillo de enteros p -ádicos, indexados por un γ ordinal contable. Defina un mapa de X δ a X γ siempre que δ <γ de la siguiente manera:
- Si γ es un sucesor ε + 1, entonces el mapa de X ε a X γ es solo una multiplicación por p . Para otros δ, el mapa de X δ a X γ es la composición del mapa de X δ a X ε y el mapa de X ε a X γ
- Si γ es un ordinal límite, entonces el límite directo de los conjuntos X δ para δ <γ es una unión contable de bolas p -ádicas, por lo que puede incluirse en X γ , ya que X γ con un punto eliminado también es una unión contable p -bolas ádicas. Esto define incrustaciones compatibles de X δ en X γ para todo δ <γ.
Este espacio no es compacto, pero la unión de cualquier conjunto contable de subespacios compactos tiene cierre compacto.
Mayores dimensiones
Algunos ejemplos de colectores no paracompactos en dimensiones más altas incluyen el colector Prüfer , productos de cualquier colector no paracompacto con cualquier colector no vacío, la bola de radio largo, etc. El teorema de la gaita muestra que hay 2 ℵ 1 clases de isomorfismos de superficies no paracompactas.
No hay análogos complejos de la línea larga ya que cada superficie de Riemann es paracompacta, pero Calabi y Rosenlicht dieron un ejemplo de una variedad compleja no paracompacta de dimensión compleja 2. [9]
Ver también
- Topología de orden lexicográfico en el cuadrado unitario
- Lista de topologías
Referencias
- ^ Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 71–72. ISBN 978-0-486-68735-3. Señor 0507446 . Zbl 1245.54001 .
- ^ Shastri, Anant R. (2011), Elementos de topología diferencial , CRC Press, p. 122, ISBN 9781439831632.
- ^ Kunen, K .; Vaughan, J. (2014), Manual de topología teórica de conjuntos , Elsevier, p. 643, ISBN 9781483295152.
- ^ Peter J. Nyikos (1992). "Varios suavizados del palangre y sus haces tangentes" . Avances en Matemáticas . 93 : 129-213. doi : 10.1016 / 0001-8708 (92) 90027-I .
- ^ Kneser, H .; Kneser, M. (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archiv der Mathematik . 11 : 104-106. doi : 10.1007 / BF01236917 .
- ^ S. Kobayashi y K. Nomizu (1963). Fundamentos de la geometría diferencial . Yo . Interscience. pag. 166.
- ^ Joshi, KD (1983). "Capítulo 15 Sección 3". Introducción a la topología general . Jon Wiley e hijos. ISBN 0-470-27556-1. Señor 0709260 .
- ^ Serre, Jean-Pierre . "IV (" Colectores analíticos "), apéndice 3 (" La línea transfinita p -ádica ")". Lie Algebras and Lie Groups (1964 Conferencias impartidas en la Universidad de Harvard) . Lecture Notes in Mathematics parte II ("Grupos de mentiras"). Springer-Verlag . ISBN 3-540-55008-9.
- ^ Calabi, Eugenio; Rosenlicht, Maxwell (1953). "Variedades analíticas complejas sin base contable" . Actas de la American Mathematical Society . 4 : 335–340. doi : 10.1090 / s0002-9939-1953-0058293-x . Señor 0058293 .