En economía y teoría del consumidor , una función de utilidad lineal es una función de la forma:
o, en forma vectorial:
dónde:
- es el número de bienes diferentes en la economía.
- es un vector de tamaño que representa un paquete . El elemento representa la cantidad de bien en el paquete.
- es un vector de tamaño que representa las preferencias subjetivas del consumidor. El elemento representa el valor relativo que el consumidor asigna a un bien . Si, esto significa que el consumidor piensa que el producto es totalmente inútil. Lo mas alto es decir, más valiosa es una unidad de este producto para el consumidor.
Un consumidor con una función de utilidad lineal tiene las siguientes propiedades:
- Las preferencias son estrictamente monótonas : tener una mayor cantidad de incluso un solo bien aumenta estrictamente la utilidad.
- Las preferencias son débilmente convexas , pero no estrictamente convexas: una mezcla de dos paquetes equivalentes es equivalente a los paquetes originales, pero no mejor que eso.
- La tasa marginal de sustitución de todos los bienes es constante. Por cada dos bienes:
- .
- Las curvas de indiferencia son rectas (cuando hay dos bienes) o hiperplanos (cuando hay más bienes).
- Cada curva de demanda (demanda en función del precio) es una función escalonada : el consumidor quiere comprar cero unidades de un bien cuya relación utilidad / precio está por debajo del máximo, y quiere comprar tantas unidades como sea posible de un bien cuya utilidad La relación precio / precio es máxima.
- El consumidor considera los bienes como bienes sustitutos perfectos .
Economía con utilidades lineales
Defina una economía lineal como una economía de intercambio en la que todos los agentes tienen funciones de utilidad lineal. Una economía lineal tiene varias propiedades.
Suponga que cada agente tiene una dotación inicial . Este es un vector de tamaño en el que el elemento representa la cantidad de bien que inicialmente es propiedad del agente . Entonces, la utilidad inicial de este agente es.
Suponga que los precios de mercado están representados por un vector - un vector de tamaño en el que el elemento es el precio del bien . Entonces, el presupuesto del agente es . Mientras este vector de precios esté en efecto, el agente puede pagar todos y solo los paquetesque satisfacen la restricción presupuestaria :.
Equilibrio competitivo
Un equilibrio competitivo es un vector de precios y una asignación en la que se satisfacen las demandas de todos los agentes (la demanda de cada bien es igual a su oferta). En una economía lineal, consta de un vector de precios y una asignación , dando a cada agente un paquete tal que:
- (la cantidad total de todos los bienes es la misma que en la asignación inicial; no se producen ni destruyen bienes).
- Para cada agente , su asignación maximiza la utilidad del agente, , sujeto a la restricción presupuestaria .
En equilibrio, cada agente tiene solo bienes para los que su relación utilidad / precio es débilmente máxima. Es decir, si el agente se mantiene bien en equilibrio, entonces para todos los demás bienes :
(de lo contrario, el agente querría intercambiar alguna cantidad de bienes con buena , rompiendo así el equilibrio).
Sin pérdida de generalidad, es posible suponer que cada bien es deseado por al menos un agente (de lo contrario, este bien puede ignorarse a todos los efectos prácticos). Bajo este supuesto, el precio de equilibrio de un bien debe ser estrictamente positivo (de lo contrario, la demanda sería infinita).
Existencia de equilibrio competitivo
David Gale [1] demostró las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un equilibrio competitivo en una economía lineal. También demostró varias otras propiedades de las economías lineales.
Un conjunto de agentes se llama autosuficiente si todos los miembros de asignar un valor positivo solo a los bienes que son propiedad exclusiva de miembros de (en otras palabras, asignan valor a cualquier producto que es propiedad de miembros externos ). El conjuntose llama súper autosuficiente si alguien en posee un bien que no es valorado por ningún miembro de (incluido él mismo). El teorema de existencia de Gale dice que:
- Una economía lineal tiene un equilibrio competitivo si y solo si ningún conjunto de agentes es súper autosuficiente.
Prueba de la dirección "sólo si" : suponga que la economía está en equilibrio con el precio y asignación . Suponeres un conjunto de agentes autosuficientes. Entonces, todos los miembros decomercian sólo entre sí, porque los bienes que pertenecen a otros agentes no tienen valor para ellos. Por tanto, la asignación de equilibrio satisface:
- .
Toda asignación de equilibrio es Pareto eficiente . Esto significa que, en la asignación de equilibrio, todo bien es poseído únicamente por un agente que le asigna un valor positivo. Por la igualdad que acabo de mencionar, por cada bien, la cantidad total de en poder de miembros de en la asignación de equilibrio es igual a la cantidad total de en poder de miembros de en la asignación inicial . Por lo tanto, en la asignación inicial, todo bien está en manos de un miembro de , solo si es valioso para uno o más miembros de . Por eso, no es súper autosuficiente.
Equilibrio competitivo con ingresos iguales
El equilibrio competitivo con ingresos iguales (CEEI) es un tipo especial de equilibrio competitivo, en el que el presupuesto de todos los agentes es el mismo. Es decir, por cada dos agentes y :
La asignación de CEEI es importante porque se garantiza que no tendrá envidia : [2] el paquete da agente una utilidad máxima entre todos los paquetes con el mismo precio, por lo que en particular le da al menos tanta utilidad como el paquete .
Una forma de lograr un CEEI es otorgar a todos los agentes la misma dotación inicial, es decir, para cada y :
(Si hay agentes entonces cada agente recibe exactamente de la cantidad de cada bien). En tal asignación, ningún subconjunto de agentes es autosuficiente. Por tanto, como corolario del teorema de Gale:
- En una economía lineal, siempre existe un CEEI .
Ejemplos de
En todos los ejemplos a continuación, hay dos agentes: Alice y George, y dos productos: manzanas (x) y guayabas (y).
A. Equilibrio único : las funciones de utilidad son:
- ,
- .
La dotación total es . Sin pérdida de generalidad, podemos normalizar el vector de precios de manera que. ¿Qué valores puedentener en CE? Si, entonces ambos agentes quieren dar todo su y para x; Si, entonces ambos agentes quieren dar todo su x por y; por lo tanto, en CE. Si, entonces Alice es indiferente entre xey, mientras que George solo quiere y. Del mismo modo, si, entonces George es indiferente mientras que Alice solo quiere x. Si, entonces Alice solo quiere x mientras que George solo quiere y. Por lo tanto, la asignación de CE debe ser [(6,0); (0,6)]. El vector de precios depende de la asignación inicial. Por ejemplo, si la asignación inicial es igual, [(3,3); (3,3)], entonces ambos agentes tienen el mismo presupuesto en CE, entonces. Este CE es esencialmente único: el vector de precios puede multiplicarse por un factor constante, pero el equilibrio de CE no cambiará.
B. Sin equilibrio : suponga que Alice tiene manzanas y guayabas pero solo quiere manzanas. George solo tiene guayabas, pero quiere tanto manzanas como guayabas. El conjunto {Alice} es autosuficiente, porque Alice piensa que todos los bienes que posee George son inútiles. Además, el conjunto {Alice} es súper autosuficiente, porque Alice tiene guayabas que no valen nada para ella. De hecho, no existe un equilibrio competitivo: independientemente del precio, a Alice le gustaría dar todas sus guayabas por manzanas, pero George no tiene manzanas, por lo que su demanda seguirá sin satisfacerse.
C. Muchos equilibrios : Supongamos que hay dos bienes y dos agentes, ambos agentes asignar el mismo valor a los dos productos (por ejemplo, para ambos,). Entonces, en equilibrio, los agentes pueden intercambiar algunas manzanas por un número igual de guayabas, y el resultado seguirá siendo un equilibrio. Por ejemplo, si hay un equilibrio en el que Alice tiene 4 manzanas y 2 guayabas y George tiene 5 manzanas y 3 guayabas, entonces la situación en la que Alice tiene 5 manzanas y 1 guayaba y George 4 manzanas y 4 guayabas también es un equilibrio.
Pero, en ambos equilibrios, las utilidades totales de ambos agentes son las mismas: Alice tiene utilidad 6 en ambos equilibrios y George tiene utilidad 8 en ambos equilibrios. Esto no es una coincidencia, como se muestra en la siguiente sección.
Singularidad de las empresas de servicios públicos en equilibrio competitivo
Gale [1] demostró que:
- En una economía lineal, todos los agentes son indiferentes entre todos los equilibrios .
Prueba. La prueba es por inducción sobre el número de comerciantes. Cuando hay un solo comerciante, la afirmación es obvia. Suponga que hay dos o más comerciantes y considere dos equilibrios: equilibrio X con vector de precios y asignación , y equilibrio Y con vector de precios y asignación . Hay dos casos a considerar:
una. Los vectores de precios son los mismos hasta la constante multiplicativa: por alguna constante . Esto significa que en ambos equilibrios, todos los agentes tienen exactamente el mismo conjunto presupuestario (pueden permitirse exactamente los mismos paquetes). En equilibrio, la utilidad de cada agente es la utilidad máxima de un paquete en el conjunto presupuestario; si el conjunto de presupuesto es el mismo, entonces también lo es la utilidad máxima en ese conjunto.
B. Los vectores de precios no son proporcionales. Esto significa que el precio de algunos bienes cambió más que otros. Defina el aumento de precio más alto como:
y defina los bienes con aumento de precio más alto como aquellos bienes que experimentaron el cambio de precio máximo (este debe ser un subconjunto adecuado de todos los bienes, ya que los vectores de precios no son proporcionales):
y defina los tenedores de aumento de precio más alto como aquellos comerciantes que tienen uno o más de esos bienes de cambio de precio máximo en Equilibrio Y:
En equilibrio, los agentes solo tienen bienes cuya relación utilidad / precio es débilmente máxima. Entonces, para todos los agentes en, la relación utilidad / precio de todos los bienes en es débilmente máximo bajo el vector de precios . Dado que las mercancías en experimentó la mayor subida de precios, cuando el vector de precios es su relación utilidad / precio es fuertemente máxima. Por tanto, en Equilibrio X, todos los agentes entener solo bienes de. En equilibrio X, alguien debe tener bienes que no están en; por eso, debe ser un subconjunto adecuado de los agentes.
Entonces, en equilibrio X, el -los agentes tienen solo -bienes, y en equilibrio Y, -los agentes tienen todos los-bienes. Esto nos permite hacer algunos cálculos presupuestarios:
Por un lado, en equilibrio X con precio , la -los agentes gastan todo su presupuesto en -bienes, entonces:
(dónde es la dotación inicial total del bien ).
Por otro lado, en equilibrio Y con precio , la -los agentes pueden pagar todos los -bienes, entonces:
La combinación de estas ecuaciones lleva a la conclusión de que, en ambos equilibrios, la -los agentes solo comercian entre sí:
- .
Por lo tanto, los agentes que no están en también solo comercian entre sí. Esto significa que el equilibrio X se compone de dos equilibrios: uno que involucra solo-agentes y -bienes, y el otro que involucra solo no--agentes y no--bienes. Lo mismo es cierto para el agente Y. Dado que es un subconjunto propio de los agentes, se puede invocar el supuesto de inducción y se demuestra el teorema.
Calcular el equilibrio competitivo
Eaves [3] presentó un algoritmo para encontrar un equilibrio competitivo en un número finito de pasos, cuando tal equilibrio existe.
Conceptos relacionados
Las funciones de utilidades lineales son un pequeño subconjunto de las funciones de utilidades cuasilineales .
Los bienes con utilidades lineales son un caso especial de bienes sustitutos .
Supongamos que el conjunto de bienes no es finito sino continuo. Por ejemplo, la mercancía es un recurso heterogéneo, como la tierra. Entonces, las funciones de utilidad no son funciones de un número finito de variables, sino funciones de conjunto definidas en subconjuntos de Borel del terreno. La generalización natural de una función de utilidad lineal a ese modelo es una función de conjunto aditivo . Este es el caso común en la teoría del corte justo de pasteles . El teorema de Weller da una extensión del resultado de Gale a esta configuración .
En determinadas condiciones, una relación de preferencia ordinal se puede representar mediante una función de utilidad lineal y continua. [4]
Referencias
- ↑ a b c Gale, David (1976). "El modelo de intercambio lineal". Revista de Economía Matemática . 3 (2): 205–209. doi : 10.1016 / 0304-4068 (76) 90029-x .
- ^ Varian, HR (1974). "Equidad, envidia y eficiencia" (PDF) . Revista de teoría económica . 9 : 63–91. doi : 10.1016 / 0022-0531 (74) 90075-1 . hdl : 1721,1 / 63490 .
- ^ a b Aleros, B. Curtis (1976). "Un algoritmo finito para el modelo de intercambio lineal" (PDF) . Revista de Economía Matemática . 3 (2): 197–203. doi : 10.1016 / 0304-4068 (76) 90028-8 .
- ^ a b Candeal-Haro, Juan Carlos; Induráin-Eraso, Esteban (1995). "Una nota sobre la utilidad lineal". Teoría económica . 6 (3): 519. doi : 10.1007 / bf01211791 .
- ^ Jaffray, Jean-Yves (1989). "Teoría de la utilidad lineal para funciones de creencias". Cartas de investigación operativa . 8 (2): 107–112. doi : 10.1016 / 0167-6377 (89) 90010-2 .