En álgebra lineal , una relación lineal , o simplemente relación , entre elementos de un espacio vectorial o un módulo es una ecuación lineal que tiene estos elementos como solución.
Más precisamente, si son elementos de un módulo (izquierda) M sobre un anillo R (el caso de un espacio vectorial sobre un campo es un caso especial), una relación entrees una secuencia de elementos de R tales que
Las relaciones entre formar un módulo. Uno está generalmente interesado en el caso dondees un grupo electrógeno de un módulo finitamente generado M , en cuyo caso el módulo de las relaciones a menudo se llama un módulo de sicigia de M . El módulo sicigia depende de la elección de un grupo electrógeno, pero es único hasta la suma directa con un módulo libre. Es decir, si y son módulos sicigios correspondientes a dos grupos electrógenos del mismo módulo, entonces hay isomorfos estables , lo que significa que existen dos módulos libres y tal que y son isomorfos .
Los módulos sicigios de orden superior se definen de forma recursiva: un primer módulo sicigia de un módulo M es simplemente su módulo sicigia. Para k > 1 , un k- ésimo módulo de sicigia de M es un módulo de sicigia de un ( k - 1) -ésimo módulo de sicigia. El teorema de la sicigia de Hilbert establece que, sies un anillo polinomial en n indeterminados sobre un campo, entonces cada n- ésimo módulo de sicigia es libre. El caso n = 0 es el hecho de que todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, y el caso n = 1 es el hecho de que K [ x ] es un dominio ideal principal y que cada submódulo de un K [ x ] libre finitamente generado El módulo también es gratuito.
La construcción de módulos de sicigia de orden superior se generaliza como la definición de resoluciones libres , lo que permite replantear el teorema de sicigia de Hilbert como un anillo polinomial en n indeterminados sobre un campo que tiene una dimensión homológica global n .
Si un y b son dos elementos de la conmutativa anillo R , a continuación, ( b , - un ) es una relación que se dice trivial . El módulo de relaciones triviales de un ideal es el submódulo del primer módulo sicigia del ideal que es generado por las relaciones triviales entre los elementos de un conjunto generador de un ideal. El concepto de relaciones triviales puede generalizarse a módulos sicigios de orden superior y conduce al concepto del complejo de Koszul de un ideal, que proporciona información sobre las relaciones no triviales entre los generadores de un ideal.
Definiciones basicas
Deje que R sea un anillo y M sea a la izquierda R - módulo . Una relación lineal , o simplemente una relación entre k elementosde M es una secuenciade elementos de R tales que
Si es un conjunto de generación de M , la relación es a menudo llamado un sizigia de M . Tiene sentido llamarlo una sicigia de sin considerar porque, aunque el módulo sicigia depende del grupo electrógeno elegido, la mayoría de sus propiedades son independientes; ver § Propiedades estables , más abajo.
Si el anillo R es noetheriano , o al menos coherente , y si M se genera de forma finita , entonces el módulo sicigia también se genera de forma finita. Un módulo de sicigia de este módulo sizigia es un segundo módulo de sicigia de M . Continuando de esta manera se puede definir un k- ésimo módulo syzygy para cada entero positivo k .
El teorema de la sicigia de Hilbert afirma que, si M es un módulo generado finitamente sobre un anillo polinomial sobre un campo , entonces cualquier n- ésimo módulo syzygy es un módulo gratuito .
Propiedades estables
En términos generales, en el lenguaje de la teoría K , una propiedad es estable si se vuelve verdadera al hacer una suma directa con un módulo libre suficientemente grande . Una propiedad fundamental de los módulos syzygies es que existen "establemente independientes" en las elecciones de los grupos electrógenos para los módulos involucrados. El siguiente resultado es la base de estas propiedades estables.
Proposición - Letser un grupo electrógeno de un módulo R M , yser otros elementos de M . El módulo de las relaciones entrees la suma directa del módulo de las relaciones entrey un módulo gratuito de rango n .
Prueba. Como es un grupo electrógeno, cada puede ser escrito Esto proporciona una relación Entre Ahora si hay alguna relación, entonces es una relación entre el solo. En otras palabras, toda relación entre es una suma de una relación entre y una combinación lineal de la s. Es sencillo demostrar que esta descomposición es única, y esto prueba el resultado.
Esto prueba que el primer módulo de sicigia es "establemente único". Más precisamente, dados dos grupos electrógenos y de un módulo M , si y son los correspondientes módulos de relaciones, entonces existen dos módulos libres y tal que y son isomorfos. Para probar esto, basta aplicar dos veces la proposición anterior para obtener dos descomposiciones del módulo de las relaciones entre la unión de los dos grupos electrógenos.
Para obtener un resultado similar para los módulos de sicigia superior, queda demostrar que, si M es cualquier módulo y L es un módulo libre, entonces M y M ⊕ L tienen módulos de sicigia isomórficos. Basta considerar un conjunto de generación de M ⊕ L que consiste en un grupo electrógeno de M y una base de L . Para cada relación entre los elementos de este grupo electrógeno, los coeficientes de los elementos base de L son todos cero, y las sicigias de M ⊕ L son exactamente las sicigias de M extendidas con coeficientes cero. Esto completa la demostración del siguiente teorema.
Teorema - Para cada entero positivo k , el k- ésimo módulo sicigia de un módulo dado depende de las elecciones de los grupos electrógenos, pero es único hasta la suma directa con un módulo libre. Más precisamente, si y Hay k ésimos módulos syzygy que se obtienen mediante diferentes elecciones de grupos electrógenos, luego hay módulos libres y tal que y son isomorfos.
Relación con resoluciones libres
Dado un grupo electrógeno de un módulo R , se puede considerar un módulo gratuito de L de base dónde son nuevos indeterminados. Esto define una secuencia exacta
donde la flecha izquierda es el mapa lineal que mapea cada al correspondiente El núcleo de esta flecha de la izquierda es un primer módulo de sicigia M .
Uno puede repetir esta construcción con este núcleo en lugar de M . Repitiendo una y otra vez esta construcción, se obtiene una secuencia larga y exacta
donde todos son módulos gratuitos. Por definición, una secuencia exacta tan largo es una resolución libre de M .
Para cada k ≥ 1 , el kernel de la flecha a partir de es un k ésimo sizigia módulo de M . De ello se deduce que el estudio de las resoluciones libres es lo mismo que el estudio de los módulos sicigios.
Una resolución libre es finita de longitud ≤ n siestá libre. En este caso, uno puede tomar y (el módulo cero ) para cada k > n .
Esto permite replantear el teorema de la sicigia de Hilbert : Sies un anillo polinomial en n indeterminados sobre un campo K , entonces toda resolución libre tiene una longitud finita como máximo n .
La dimensión global de un anillo conmutativo noetheriano es infinita o la mínima n tal que toda resolución libre tiene una longitud finita como máximo n . Un anillo noetheriano conmutativo es regular si su dimensión global es finita. En este caso, la dimensión global es igual a su dimensión Krull . Entonces, el teorema de la sicigia de Hilbert se puede reformular en una oración muy corta que esconde muchas matemáticas: un anillo polinomial sobre un campo es un anillo regular.
Relaciones triviales
En un anillo conmutativo R , siempre se tiene ab - ba = 0 . Esto implica trivialmente que ( b , - un ) es una relación lineal entre una y b . Por lo tanto, dado un grupo electrógenode un yo ideal , se llama relación trivial o sicigia trivial a cada elemento del submódulo el módulo sicigia que es generado por estas relaciones triviales entre dos elementos generadores. Más precisamente, el módulo de las sicigias triviales es generado por las relaciones
tal que y de lo contrario.
Historia
La palabra sicigia entró en las matemáticas con el trabajo de Arthur Cayley . [1] En ese artículo, Cayley lo utilizó en la teoría de resultantes y discriminantes . [2] Como la palabra sicigia se usó en astronomía para denotar una relación lineal entre planetas, Cayley la usó para denotar relaciones lineales entre menores de una matriz, como, en el caso de una matriz de 2 × 3:
Entonces, la palabra sizigia fue popularizado (entre los matemáticos) por David Hilbert en su artículo de 1890, que contiene tres teoremas fundamentales de polinomios, el teorema de Hilbert sicigia , teorema de la base de Hilbert y el Teorema de los ceros de Hilbert .
En su artículo, Cayley hace uso, en un caso especial, de lo que más tarde [3] se denominó complejo de Koszul , después de una construcción similar en geometría diferencial por el matemático Jean-Louis Koszul .
Notas
- ^ 1847 [Cayley 1847] A. Cayley, "Sobre la teoría de la involución en geometría", Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. Véase también Collected Papers, vol. 1 (1889), 80–94, Cambridge Univ. Prensa, Cambridge.
- ^ [Gel'fand et al. 1994] IM Gel'fand, MM Kapranov y AV Zelevinsky, Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales, Matemáticas: teoría y aplicaciones, Birkhäuser, Boston, 1994.
- ^ Serre, local de Jean-Pierre Algèbre. Multiplicités. (Francés) Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics, 11 Springer-Verlag, Berlín-Nueva York 1965 vii + 188 pp .; esta es la forma publicada de notas mimeografiadas de las conferencias de Serre en el College de France en 1958.
Referencias
- Cox, David; Pequeño John; O'Shea, Donal (2007). "Ideales, variedades y algoritmos". Textos de Licenciatura en Matemáticas . Nueva York, NY: Springer New York. doi : 10.1007 / 978-0-387-35651-8 . ISBN 978-0-387-35650-1. ISSN 0172-6056 .
- Cox, David; Pequeño John; O'Shea, Donal (2005). "Usando geometría algebraica". Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / b138611 . ISBN 0-387-20706-6.
- Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. 150 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8.
- David Eisenbud, The Geometry of Syzygies, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 229, Springer, 2005.