Número de enlace
En matemáticas , el número de enlace es un invariante numérico que describe el enlace de dos curvas cerradas en un espacio tridimensional . Intuitivamente, el número de enlace representa el número de veces que cada curva se enrolla alrededor de la otra. En el espacio euclidiano , el número de enlace es siempre un número entero , pero puede ser positivo o negativo dependiendo de la orientación de las dos curvas (esto no es cierto para las curvas en la mayoría de las 3 variedades , donde los números de enlace también pueden ser fracciones o simplemente no existir ). en absoluto).
El número de enlace fue introducido por Gauss en forma de integral de enlace . Es un importante objeto de estudio en teoría de nudos , topología algebraica y geometría diferencial , y tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y ciencias , incluida la mecánica cuántica , el electromagnetismo y el estudio del superenrollamiento del ADN .
Dos curvas cerradas cualesquiera en el espacio, si se les permite pasar a través de sí mismas pero no entre sí, se pueden mover exactamente a una de las siguientes posiciones estándar. Esto determina el número de enlace:
Cada curva puede pasar por sí misma durante este movimiento, pero las dos curvas deben permanecer separadas en todo momento. Esto se formaliza como homotopía regular , que además requiere que cada curva sea una inmersión , no un mapa cualquiera. Sin embargo, esta condición añadida no cambia la definición de número de enlace (no importa si se requiere que las curvas sean siempre inmersiones o no), que es un ejemplo de un principio h (principio de homotopía), lo que significa que la geometría reduce a la topología.
Este hecho (que el número de enlace es el único invariante) se prueba más fácilmente colocando un círculo en la posición estándar y luego mostrando que el número de enlace es el único invariante del otro círculo. En detalle:
Existe un algoritmo para calcular el número de enlace de dos curvas a partir de un diagrama de enlace . Etiquete cada cruce como positivo o negativo , de acuerdo con la siguiente regla: [1]
