En matemáticas , el teorema de Lions-Lax-Milgram (o simplemente el teorema de Lions ) es un resultado del análisis funcional con aplicaciones en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales . Es una generalización del famoso teorema de Lax-Milgram , que da condiciones bajo las cuales una función bilineal puede ser "invertida" para mostrar la existencia y unicidad de una solución débil a un problema de valor en la frontera dado . El resultado lleva el nombre de los matemáticos Jacques-Louis Lions , Peter Lax y Arthur Milgram .
Declaración del teorema
Sea H un espacio de Hilbert y V un espacio normado . Sea B : H × V → R una función bilineal continua . Entonces los siguientes son equivalentes:
- ( coercitividad ) para alguna constante c > 0, [ cita requerida ]
- (existencia de un "inverso débil") para cada funcional lineal continuo f ∈ V ∗ , hay un elemento h ∈ H tal que
Resultados relacionados
El teorema de Lions-Lax-Milgram se puede aplicar utilizando el siguiente resultado, cuyas hipótesis son bastante comunes y fáciles de verificar en aplicaciones prácticas:
Suponga que V está continuamente incrustado en H y que B es V -elíptico, es decir
- para algunos c > 0 y todos v ∈ V ,
- para algunos α > 0 y todos v ∈ V ,
Entonces se cumple la condición de coercitividad anterior (y por lo tanto el resultado de existencia).
Importancia y aplicaciones
La generalización de Lions es importante, ya que permite abordar problemas de valores de frontera más allá de la configuración del espacio de Hilbert de la teoría original de Lax-Milgram. Para ilustrar el poder del teorema de Lions, considere la ecuación de calor en n dimensiones espaciales ( x ) y una dimensión de tiempo ( t ):
donde Δ denota el operador de Laplace . Inmediatamente surgen dos preguntas: ¿en qué dominio del espacio-tiempo se resolverá la ecuación del calor y qué condiciones de frontera se impondrán? La primera pregunta, la forma del dominio, es aquella en la que se puede ver el poder del teorema de Lions-Lax-Milgram. En configuraciones simples, es suficiente considerar dominios cilíndricos : es decir, se fija una región espacial de interés, Ω, y un tiempo máximo, T ∈ (0, + ∞], y se procede a resolver la ecuación de calor en el "cilindro".
Luego, se puede proceder a resolver la ecuación de calor usando la teoría clásica de Lax-Milgram (y / o aproximaciones de Galerkin ) en cada "intervalo de tiempo" { t } × Ω. Todo esto está muy bien si solo se desea resolver la ecuación de calor en un dominio que no cambia su forma en función del tiempo. Sin embargo, hay muchas aplicaciones para las que esto no es cierto: por ejemplo, si se desea resolver la ecuación del calor en la capa de hielo polar , se debe tener en cuenta la forma cambiante del volumen de hielo a medida que se evapora y / o los icebergs. separarse. En otras palabras, uno debe al menos poder manejar dominios G en el espacio-tiempo que no se ven iguales en cada "intervalo de tiempo". (También existe la complicación adicional de los dominios cuya forma cambia de acuerdo con la solución u del problema en sí.) Tales dominios y condiciones de frontera están más allá del alcance de la teoría clásica de Lax-Milgram, pero pueden atacarse usando el teorema de Lions.