En matemáticas , el teorema de Babuška-Lax-Milgram es una generalización del famoso teorema de Lax-Milgram , que da las condiciones bajo las cuales una forma bilineal se puede "invertir" para mostrar la existencia y unicidad de una solución débil a un problema de valor de frontera dado. . El resultado lleva el nombre de los matemáticos Ivo Babuška , Peter Lax y Arthur Milgram .
Fondo
En el enfoque analítico funcional moderno para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales , no se intenta resolver una ecuación diferencial parcial dada directamente, sino utilizando la estructura del espacio vectorial de posibles soluciones, por ejemplo, un espacio de Sobolev W k , p . De manera abstracta, considere dos espacios normativos reales U y V con sus espacios duales continuos U ∗ y V ∗ respectivamente. En muchas aplicaciones, U es el espacio de posibles soluciones; dado algún operador diferencial parcial Λ: U → V ∗ y un elemento específico f ∈ V ∗ , el objetivo es encontrar un u ∈ U tal que
Sin embargo, en la formulación débil , esta ecuación sólo es necesario para mantener cuando "probado" en contra de todos los otros elementos posibles de V . Esta "prueba" se logra mediante una función bilineal B : U × V → R que codifica el operador diferencial Λ; una solución débil al problema es encontrar una u ∈ U tal que
El logro de Lax y Milgram en su resultado de 1954 fue especificar condiciones suficientes para que esta formulación débil tenga una solución única que dependa continuamente del dato especificado f ∈ V ∗ : es suficiente que U = V es un espacio de Hilbert , que B es continuo, y que B es fuertemente coercitivo , es decir
para alguna constante c > 0 y todo u ∈ U .
Por ejemplo, en la solución de la ecuación de Poisson en un acotado , abierto dominio Ω ⊂ R n ,
el espacio U podría tomarse como el espacio de Sobolev H 0 1 (Ω) con doble H −1 (Ω); el primero es un subespacio del espacio L p V = L 2 (Ω); la forma bilineal B asociada a −Δ es el producto interno L 2 (Ω) de las derivadas:
Por tanto, la formulación débil de la ecuación de Poisson, dada f ∈ L 2 (Ω), es encontrar u f tal que
Declaración del teorema
En 1971, Babuška proporcionó la siguiente generalización del resultado anterior de Lax y Milgram, que comienza prescindiendo del requisito de que U y V sean el mismo espacio. Sean U y V dos espacios reales de Hilbert y sea B : U × V → R un funcional bilineal continuo. Supongamos también que B es débilmente coercitivo: para alguna constante c > 0 y todo u ∈ U ,
y, para todo 0 ≠ v ∈ V ,
Entonces, para todo f ∈ V ∗ , existe una solución única u = u f ∈ U al problema débil
Además, la solución depende continuamente de los datos proporcionados:
Ver también
Referencias
- Babuška, Ivo (1970-1971). "Límites de error para el método de elementos finitos" . Numerische Mathematik . 16 (4): 322–333. doi : 10.1007 / BF02165003 . hdl : 10338.dmlcz / 103498 . ISSN 0029-599X . Señor 0288971 . Zbl 0214.42001 .
- Lax, Peter D .; Milgram, Arthur N. (1954), "Ecuaciones parabólicas" , Contribuciones a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , Annals of Mathematics Studies, 33 , Princeton, NJ : Princeton University Press , págs. 167-190, MR 0067317 , Zbl 0058.08703 - vía De Gruyter
enlaces externos
- Roşca, Ioan (2001) [1994], "Teorema de Babuška-Lax-Milgram" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press