En matemáticas , más específicamente en topología , un homeomorfismo local es una función entre espacios topológicos que, intuitivamente, preserva la estructura local (aunque no necesariamente global). Si es un homeomorfismo local, se dice que es un espacio étale sobreLos homeomorfismos locales se utilizan en el estudio de las gavillas . Los mapas de cobertura son ejemplos típicos de homeomorfismos locales .
Un espacio topológico es localmente homeomorfo a Y si cada punto detiene un barrio que es homeomorfo a un abierto de Y . Por ejemplo, una variedad de dimensiones es localmente homeomorfo a
Si hay un homeomorfismo local de a luego es localmente homeomorfo a pero lo contrario no siempre es cierto. Por ejemplo, la esfera bidimensional , al ser una variedad, es localmente homeomorfa al plano pero no existe un homeomorfismo local entre ellos (en ninguna dirección).
Definicion formal
Dejar y Ser espacios topológicos . Una funciónes un homeomorfismo local [1] si para cada puntoexiste un conjunto abierto conteniendo tal que la imagen está abierto en y la restricción es un homeomorfismo (donde las respectivas topologías subespaciales se utilizan en y en ).
Ejemplos y condiciones suficientes
Todo homeomorfismo es también un homeomorfismo local. Si es un homeomorfismo local y es un subconjunto abierto de entonces la restricción es también un homeomorfismo local. La composición de dos homeomorfismos locales es un homeomorfismo local (es decir, si y son homeomorfismos locales, entonces la composición es también un homeomorfismo local). Si es continuo, es un homeomorfismo local, y un homeomorfismo local, entonces es también un homeomorfismo local.
Si es un subconjunto abierto de equipado con la topología subespacial , luego el mapa de inclusión es un homeomorfismo local. El subconjunto estar abierto en es esencial aquí porque el mapa de inclusión de un subconjunto no abierto de nunca produce un homeomorfismo local.
Si es definido por de modo que geométricamente, este mapa envuelve la línea real alrededor del círculo , luegoes un homeomorfismo local pero no un homeomorfismo. Si es el mapa que envuelve el círculo alrededor de sí mismo veces (es decir, tiene un número de bobinado ), entonces este es un homeomorfismo local para todos los valores distintos de cero. pero un homeomorfismo sólo en los casos en que es biyectivo , es decir, cuando o
Generalizando los dos ejemplos anteriores, cada mapa de cobertura es un homeomorfismo local; en particular, la cubierta universal de un espacio es un homeomorfismo local. En ciertas situaciones ocurre lo contrario. Por ejemplo: sies un homeomorfismo local adecuado entre dos espacios de Hausdorff y sitambién es localmente compacto , entonces es un mapa de cobertura.
Existen homeomorfismos locales dónde es un espacio de Hausdorff yno es. Considere, por ejemplo, el espacio del cociente donde la relación de equivalencia sobre la unión disjunta de dos copias de los reales identifica cada real negativo de la primera copia con el real negativo correspondiente de la segunda copia. Las dos copias de no están identificados y no tienen vecindarios separados, por lo que no es Hausdorff. Uno comprueba fácilmente que el mapa naturales un homeomorfismo local. La fibra tiene dos elementos si y un elemento si Del mismo modo, es posible construir un homeomorfismo local. dónde es Hausdorff y no es: elija el mapa natural de a con la misma relación de equivalencia como anteriormente.
Se muestra en el análisis complejo que una función analítica compleja (dónde es un subconjunto abierto del plano complejo ) es un homeomorfismo local precisamente cuando la derivada es distinto de cero para todos La función en un disco abierto alrededor no es un homeomorfismo local en Cuándo En ese caso es un punto de " ramificación " (intuitivamente, las hojas se juntan allí).
Usando el teorema de la función inversa, se puede demostrar que una función continuamente diferenciable (dónde es un subconjunto abierto de ) es un homeomorfismo local si la derivada es un mapa lineal invertible (matriz cuadrada invertible) para cada (Lo contrario es falso, como lo muestra el homeomorfismo local con ). Se puede formular una condición análoga para mapas entre variedades diferenciables .
Suponer es una superficie abierta continua entre dos espacios de segundo contable de Hausdorff dondees un espacio de Baire yes un espacio normal . Dejar ser la unión de todos los subconjuntos abiertos de tal que la restricción es un mapa inyectivo , donde los supuestos sobreimplica que el conjunto (potencialmente vacío [nota 1] ) es también el (único) subconjunto abierto más grande de tal que es un homeomorfismo local. Si cada fibra dees un subespacio discreto de luego es un subconjunto denso de (dónde siendo denso en implica, en particular, que si luego ). Por ejemplo, si la sobreyección abierta continua está definido por el polinomio entonces el subconjunto abierto máximo de este teorema es lo que demuestra que es posible para ser un subconjunto adecuado dedominio de. Debido a que cada fibra de cada polinomio no constante es finita (y por lo tanto un subespacio discreto e incluso compacto), este ejemplo se generaliza a tales polinomios siempre que el mapeo inducido por él sea un mapa abierto; y si no es un mapa abierto, no obstante, sigue siendo sencillo aplicar el teorema (posiblemente varias veces) eligiendo dominio (s) en función de una consideración adecuada de los mínimos / máximos locales del mapa.
Propiedades
Cada homeomorfismo local es un mapa continuo y abierto . Un homeomorfismo local biyectivo es, por tanto, un homeomorfismo.
Cada fibra de un homeomorfismo local.es un subespacio discreto de su dominio
Un homeomorfismo local transfiere propiedades topológicas "locales" en ambas direcciones:
- está conectado localmente si y solo si es;
- está conectado a la ruta localmente si y solo si es;
- es localmente compacto si y solo si es;
- es el primero en contarse si y solo si es.
Como se señaló anteriormente, la propiedad de Hausdorff no es local en este sentido y no necesita ser preservada por homeomorfismos locales.
Los homeomorfismos locales con codominio estar en una correspondencia natural de uno a uno con las gavillas de conjuntos enesta correspondencia es de hecho una equivalencia de categorías . Además, cada mapa continuo con codominio da lugar a un homeomorfismo local únicamente definido con codominio de forma natural. Todo esto se explica en detalle en el artículo sobre poleas .
Generalizaciones y conceptos análogos
La idea de un homeomorfismo local se puede formular en escenarios geométricos diferentes a los de los espacios topológicos. Para variedades diferenciables , obtenemos los difeomorfismos locales ; para los esquemas , tenemos los morfismos formalmente étale y los morfismos étale ; y para topos , obtenemos los morfismos geométricos étale .
Ver también
- Homeomorfismo - Isomorfismo de espacios topológicos en matemáticas
- Difeomorfismo local
Notas
- ^ Considere la sobreyección abierta continua definido por El conjunto porque este mapa es el conjunto vacío; es decir, no existe ningún subconjunto abierto no vacío de por lo cual la restricción es un mapa inyectivo.
Citas
- ^ Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topología general: Capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
- Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
- Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Dover Books on Mathematics (Primera ed.). Mineola, NY : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .