En matemáticas , el rango de un mapa diferenciable entre variedades diferenciables en un puntoes el rango de la derivada de a . Recuerde que la derivada de a es un mapa lineal
desde el espacio tangente en p hasta el espacio tangente en f ( p ). Como mapa lineal entre espacios vectoriales , tiene un rango bien definido, que es solo la dimensión de la imagen en T f ( p ) N :
Mapas de rango constante
Un mapa diferenciable f : M → N se dice que tiene rango constante si el rango de f es el mismo para todo p en M . Los mapas de rango constante tienen varias propiedades interesantes y son un concepto importante en la topología diferencial .
Se producen tres casos especiales de mapas de rango constante. Un mapa de rango constante f : M → N es
- una inmersión si rango f = dim M (es decir, la derivada es inyectiva en todas partes ),
- una inmersión si rango f = dim N (es decir, la derivada es sobreyectiva en todas partes ),
- un difeomorfismo local si rango f = dim M = dim N (es decir, la derivada es biyectiva en todas partes ).
El mapa f en sí mismo no necesita ser inyectivo, sobreyectivo o biyectivo para que se cumplan estas condiciones, solo el comportamiento de la derivada es importante. Por ejemplo, hay mapas inyectivos que no son inmersiones e inmersiones que no son inyecciones. Sin embargo, si f : M → N es un mapa uniforme de rango constante, entonces
- si f es inyectiva es una inmersión,
- si f es sobreyectiva es una inmersión,
- si f es biyectivo, es un difeomorfismo .
Los mapas de rango constante tienen una buena descripción en términos de coordenadas locales . Supongamos que M y N son múltiples lisos de dimensiones m y n respectivamente, y f : M → N es una transformación suave con constante de rango k . Entonces para todo p en M existen coordenadas ( x 1 , ..., x m ) centradas en py coordenadas ( y 1 , ..., y n ) centradas en f ( p ) tales que f está dada por
en estas coordenadas.
Ejemplos de
Los mapas cuyo rango es genéricamente máximo, pero cae en ciertos puntos singulares, ocurren con frecuencia en sistemas de coordenadas . Por ejemplo, en coordenadas esféricas , el rango del mapa desde los dos ángulos hasta un punto en la esfera (formalmente, un mapa T 2 → S 2 desde el toro a la esfera) es 2 en puntos regulares, pero es solo 1 en los polos norte y sur ( cenit y nadir ).
Un ejemplo más sutil ocurre en los gráficos de SO (3) , el grupo de rotación . Este grupo se encuentra ampliamente en la ingeniería, debido a que las rotaciones tridimensionales se utilizan mucho en la navegación , la ingeniería náutica y la ingeniería aeroespacial , entre muchos otros usos. Topológicamente, SO (3) es el espacio proyectivo real RP 3 , y a menudo es deseable representar las rotaciones mediante un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), tanto porque esto es conceptualmente simple, como porque uno puede construya una combinación de tres cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente esto corresponde a un mapa desde el 3-toro T 3 de tres ángulos al espacio proyectivo real RP 3 de rotaciones, pero este mapa no tiene rango 3 en todos los puntos (formalmente porque no puede ser un mapa de cobertura , ya que el único (no trivial) que cubre el espacio es la hiperesfera S 3 ), y el fenómeno de la caída de rango a 2 en ciertos puntos se conoce en ingeniería como bloqueo de cardán .
Referencias
- Lee, John (2003). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas 218 . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-95495-0.