- Para la hiperconectividad en los gráficos de enlace de nodo, consulte Conectividad_ (teoría de gráficos) # Super-_y_hiperconectividad .
En el campo matemático de la topología , un espacio hiperconectado [1] o espacio irreducible [2] es un espacio topológico X que no puede escribirse como la unión de dos conjuntos cerrados propios (ya sean disjuntos o no disjuntos). En geometría algebraica se prefiere el nombre de espacio irreducible .
Para un espacio topológico X, las siguientes condiciones son equivalentes:
- No hay dos conjuntos abiertos no vacíos que estén separados .
- X no puede escribirse como la unión de dos conjuntos cerrados adecuados .
- Cada conjunto abierto no vacío es denso en X .
- El interior de cada conjunto cerrado adecuado está vacío.
- Cada subconjunto es denso o denso en ninguna parte en el X .
Un espacio que satisface cualquiera de estas condiciones se denomina hiperconectado o irreductible .
Un conjunto irreducible es un subconjunto de un espacio topológico para el cual la topología del subespacio es irreducible. Algunos autores no consideran el conjunto vacío sea irreductible (aunque vacuamente satisface las condiciones anteriores).
Ejemplos de
Dos ejemplos de espacios hiperconectados de la topología de conjuntos de puntos son la topología cofinita en cualquier conjunto infinito y la topología de orden correcto en.
En geometría algebraica, tomar el espectro de un anillo cuyo anillo reducido es un dominio integral es un espacio topológico irreducible; aplicar el teorema de la red al nilradical , que está dentro de cada primo, para mostrar el espectro del mapa del cociente es un homeomorfismo, se reduce a la irreductibilidad del espectro de un dominio integral. Por ejemplo, los esquemas
,
son irreducibles ya que en ambos casos los polinomios que definen el ideal son polinomios irreducibles (lo que significa que no tienen factorización no trivial). Un no-ejemplo viene dado por el divisor de cruce normal
ya que el espacio subyacente es la unión de los planos afines , , y . Otro no ejemplo lo da el esquema
dónde es un polinomio homogéneo de grado 4 irreductible. Esta es la unión de las dos curvas del género 3 (por la fórmula género-grado )
Hiperconexión frente a conectividad
Cada espacio hiperconectado está conectado y conectado localmente (aunque no necesariamente conectado a una ruta o conectado a una ruta local ).
Tenga en cuenta que en la definición de hiperconexión, los conjuntos cerrados no tienen por qué ser disjuntos. Esto contrasta con la definición de conexión, en la que los conjuntos abiertos son inconexos.
Por ejemplo, el espacio de números reales con la topología estándar está conectado pero no hiperconectado. Esto se debe a que no se puede escribir como una unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, pero se puede escribir como una unión de dos conjuntos cerrados (no disjuntos).
Propiedades
- Los subconjuntos abiertos (no vacíos) de un espacio hiperconectado son "grandes" en el sentido de que cada uno es denso en X y cualquier par de ellos se cruza. Por lo tanto, un espacio hiperconectado no puede ser Hausdorff a menos que contenga un solo punto.
- Cada espacio hiperconectado está conectado y conectado localmente (aunque no necesariamente conectado a una ruta o conectado a una ruta local ).
- Dado que el cierre de cada conjunto abierto no vacío en un espacio hiperconectado es el espacio completo, que es un conjunto abierto, cada espacio hiperconectado está extremadamente desconectado .
- La imagen continua de un espacio hiperconectado está hiperconectada. [3] En particular, cualquier función continua desde un espacio hiperconectado a un espacio de Hausdorff debe ser constante. De ello se deduce que todo espacio hiperconectado es pseudocompacto .
- Cada subespacio abierto de un espacio hiperconectado está hiperconectado. [4]
- Prueba: dejarser un subconjunto abierto. Cualesquiera dos subconjuntos abiertos disjuntos de ellos mismos serían subconjuntos abiertos disjuntos de . Entonces, al menos uno de ellos debe estar vacío.
- De manera más general, cada subconjunto denso de un espacio hiperconectado está hiperconectado.
- Prueba: Supongamos es un subconjunto denso de y con , encerrado . Luego. Desde está hiperconectado, uno de los dos cierres es todo el espacio , decir . Esto implica que es denso en , y como está cerrado en , debe ser igual a .
- Un subespacio cerrado de un espacio hiperconectado no necesita estar hiperconectado.
- Contraejemplo: con un campo algebraicamente cerrado (por lo tanto, infinito) está hiperconectado [5] en la topología de Zariski , mientras que está cerrado y no hiperconectado.
- El cierre de cualquier conjunto irreducible es irreductible. [6]
- Prueba: Supongamos dónde es irreductible y escribe para dos subconjuntos cerrados (y así en ). están cerrados en y lo que implica o , pero entonces o por definición de cierre .
- Un espacio que se puede escribir como con abierto e irreductible de tal manera que es irreductible. [7]
- Prueba: en primer lugar, notamos que si es un conjunto abierto no vacío en luego se cruza con ambos y ; de hecho, suponga, luego es denso en , por lo tanto y es un punto de cierre de lo que implica y a fortiori . Ahora y tomando el cierre por lo tanto es un subconjunto denso y abierto no vacío de . Dado que esto es cierto para todos los subconjuntos abiertos no vacíos, es irreductible.
Componentes irreducibles
Un componente irreducible [8] en un espacio topológico es un subconjunto irreducible máximo (es decir, un conjunto irreducible que no está contenido en ningún conjunto irreducible más grande). Los componentes irreducibles siempre están cerrados.
Cada subconjunto irreducible de un espacio X está contenido en un (no necesariamente único) componente irreducible de X . [9] En particular, cada punto de X está contenido en algún componente irreducible de X . A diferencia de los componentes conectados de un espacio, los componentes irreducibles no necesitan estar separados (es decir, no necesitan formar una partición ). En general, los componentes irreducibles se superpondrán.
Los componentes irreductibles de un espacio de Hausdorff son solo los conjuntos singleton .
Dado que cada espacio irreducible está conectado, los componentes irreductibles siempre estarán en los componentes conectados.
Cada espacio topológico noetheriano tiene un número finito de componentes irreducibles. [10]
Ver también
- Espacio ultraconectado
- Espacio sobrio
- Geométricamente irreductible
Notas
- ^ Steen y Seebach, p. 29
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/004U
- ^ Bourbaki, Nicolas (1989). Álgebra conmutativa: Capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1989). Álgebra conmutativa: Capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
- ^ Perrin, Daniel (2008). Geometría algebraica. Una introducción . Saltador. pag. 14. ISBN 978-1-84800-055-1.
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/004W
- ^ Bourbaki, Nicolas (1989). Álgebra conmutativa: Capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/004V
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/004W
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/0050
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
- "Espacio hiperconectado" . PlanetMath .