En matemáticas, particularmente en topología , un espacio de peine es un subespacio particular deque se asemeja a un peine . El espacio del peine tiene propiedades que sirven como contraejemplos . La curva sinusoidal del topólogo tiene propiedades similares al espacio del peine. El espacio del peine eliminado es una variación del espacio del peine.
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Definicion formal
Considerar con su topología estándar y sea K el conjunto . El conjunto C definido por:
considerado como un subespacio de equipado con la topología subespacial se conoce como el espacio de peine. El espacio de peine eliminado, D, se define por:
- .
Este es el espacio del peine con el segmento de línea. eliminado.
Propiedades topologicas
El espacio del peine y el espacio del peine eliminado tienen algunas propiedades topológicas interesantes relacionadas principalmente con la noción de conexión .
1. El espacio de peine es un ejemplo de un espacio conectado con una ruta que no está conectado localmente con una ruta .
2. El espacio del peine eliminado, D, está conectado:
- Sea E el espacio del peine sin . E también está conectado con el camino y el cierre de E es el espacio del peine. Como E D el cierre de E, donde E está conectado, el espacio de peine eliminado también está conectado.
3. El espacio de peine eliminado no está conectado a una ruta ya que no hay una ruta de (0,1) a (0,0):
- Supongamos que hay un camino de p = (0, 1) al punto (0, 0) en D . Sea ƒ : [0, 1] → D este camino. Demostraremos que ƒ −1 { p } es tanto abierto como cerrado en [0, 1], lo que contradice la conexión de este conjunto. Claramente tenemos ƒ −1 { p } está cerrado en [0, 1] por la continuidad de ƒ . Para demostrar que ƒ −1 { p } está abierto, procedemos de la siguiente manera: Elija una vecindad V (abierta en R 2 ) alrededor de p que no intersecte el eje x . Suponga que x es un punto arbitrario en ƒ −1 { p }. Claramente, f ( x ) = p . Entonces desde f -1 ( V ) está abierto, hay una base elemento de U que contiene x tal que ƒ ( U ) es un subconjunto de V . Afirmamos que ƒ ( U ) = { p } lo que significará que U es un subconjunto abierto de ƒ −1 { p } que contiene x . Dado que x era arbitrario, ƒ −1 { p } estará abierto. Sabemos que U está conectado ya que es un elemento base para la topología de orden en [0, 1]. Por lo tanto, ƒ ( U ) está conectado. Supongamos ƒ ( U ) contiene un punto s distinto de p . Entonces s = (1 / n , z ) debe pertenecer a D . Elija r tal que 1 / ( n + 1) < r <1 / n . Dado que ƒ ( U ) no interseca el eje x , los conjuntos A = (−∞, r ) × y B = ( r , + ∞) × formará una separación en f ( U ); contradiciendo la conectividad de f ( U ). Por lo tanto, f −1 { p } es tanto abierto como cerrado en [0, 1]. Ésta es una contradicción.
4. El espacio del peine es homotópico a un punto, pero no admite una deformación que se retraiga sobre un punto para cada elección de punto base.
Ver también
Referencias
- James Munkres (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- Kiyosi Itô (ed.). "Conectividad". Diccionario enciclopédico de matemáticas. Sociedad Matemática de Japón. Cite journal requiere
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