En matemáticas , la desigualdad Prekopa-Leindler es una integral desigualdad estrechamente relacionada con la desigualdad de Young inversa , la desigualdad Brunn-Minkowski y un número de otras desigualdades importantes y clásicos en el análisis . El resultado lleva el nombre de los matemáticos húngaros András Prékopa y László Leindler .
Declaración de la desigualdad
Sea 0 < λ <1 y sea f , g , h : R n → [0, + ∞) funciones medibles de valor real no negativas definidas en el espacio euclidiano n- dimensional R n . Suponga que estas funciones satisfacen
( 1 )
para todos los x y y en R n . Luego
Forma esencial de la desigualdad
Recuerde que el supremo esencial de una función medible f : R n → R está definido por
Esta notación permite la siguiente forma esencial de la desigualdad de Prékopa-Leindler: sean 0 < λ <1 y sean f , g ∈ L 1 ( R n ; [0, + ∞)) funciones no negativas absolutamente integrables . Dejar
Entonces s es medible y
La forma suprema esencial se dio en. [1] Su uso puede cambiar el lado izquierdo de la desigualdad. Por ejemplo, una función g que toma el valor 1 en exactamente un punto no suele producir un lado izquierdo cero en la forma "sup no esencial", pero siempre producirá un lado izquierdo cero en la forma "sup esencial".
Relación con la desigualdad de Brunn-Minkowski
Se puede demostrar que la desigualdad de Prékopa-Leindler habitual implica la desigualdad de Brunn-Minkowski en la siguiente forma: si 0 < λ <1 y A y B están acotados , subconjuntos medibles de R n tales que la suma de Minkowski (1 - λ ) A + λ B también es medible, entonces
donde μ denota medida de Lebesgue n- dimensional . Por tanto, la desigualdad de Prékopa-Leindler también se puede utilizar [2] para probar la desigualdad de Brunn-Minkowski en su forma más familiar: si 0 < λ <1 y A y B son subconjuntos no vacíos , acotados y medibles de R n tales que (1 - λ ) A + λ B también es medible, entonces
Aplicaciones en probabilidad y estadística
Distribuciones log-cóncavas
La desigualdad de Prékopa-Leindler es útil en la teoría de distribuciones log-cóncavas , ya que puede usarse para mostrar que la log-concavidad se conserva mediante la marginación y la suma independiente de variables aleatorias distribuidas log-cóncavas. Suponga que H ( x , y ) es una distribución log-cóncava para ( x , y ) ∈ R m × R n , de modo que por definición tenemos
( 2 )
y sea M ( y ) la distribución marginal obtenida integrando sobre x :
Sean y 1 , y 2 ∈ R n y 0 < λ <1. Entonces la ecuación ( 2 ) satisface la condición ( 1 ) con h ( x ) = H ( x , (1 - λ ) y 1 + λy 2 ), f ( x ) = H ( x , y 1 ) y g ( x ) = H ( x , y 2 ), por lo que se aplica la desigualdad de Prékopa-Leindler. Se puede escribir en términos de M como
que es la definición de log-concavidad para M .
Para ver cómo esto implica la preservación de la convexidad logarítmica por sumas independientes, suponga que X e Y son variables aleatorias independientes con distribución cóncava logarítmica. Dado que el producto de dos funciones log-cóncavas es log-cóncavo, la distribución conjunta de ( X , Y ) también es log-cóncava. La concavidad logarítmica se conserva mediante cambios afines de coordenadas, por lo que la distribución de ( X + Y , X - Y ) también es cóncava logarítmica. Dado que la distribución de X + Y es marginal sobre la distribución conjunta de ( X + Y , X - Y ), concluimos que X + Y tiene una distribución log-cóncava.
Aplicaciones a la concentración de medida
La desigualdad de Prékopa-Leindler se puede utilizar para probar resultados sobre concentración de medida.
Teorema [ cita requerida ] Sea, y establecer . Dejar denotar el pdf gaussiano estándar, y su medida asociada. Luego.
Prueba de concentración de medida |
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La demostración de este teorema se basa en el siguiente lema: Lema En la notación del teorema,. Este lema se puede probar a partir de Prékopa-Leindler tomando y . Para verificar la hipótesis de la desigualdad,, tenga en cuenta que solo debemos considerar , en ese caso . Esto nos permite calcular: Desde , la PL-desigualdad da inmediatamente el lema. Para concluir la desigualdad de concentración del lema, tenga en cuenta que en , , entonces tenemos . Aplicar el lema y reorganizar demuestra el resultado. |
Notas
- ^ Herm Jan Brascamp y Elliott H. Lieb (1976). "Sobre extensiones de los teoremas de Brunn-Minkowski y Prekopa-Leindler, incluidas las desigualdades para funciones log cóncavas y con una aplicación a la ecuación de difusión". Revista de análisis funcional . 22 (4): 366–389. doi : 10.1016 / 0022-1236 (76) 90004-5 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski". Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) 39 (3): págs. 355–405 (electrónico). doi: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979 .
Referencias
- Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" (PDF) . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 . ISSN 0273-0979 .
- Prékopa, András (1971). "Medidas cóncavas logarítmicas con aplicación a programación estocástica" (PDF) . Acta Sci. Matemáticas. 32 : 301–316.
- Prékopa, András (1973). "Sobre medidas y funciones logarítmicas cóncavas" (PDF) . Acta Sci. Matemáticas. 34 : 335–343.