En el campo matemático de la teoría de grupos geométricos , una función de longitud es una función que asigna un número a cada elemento de un grupo.
Definición
Una función de longitud L : G → R + en un grupo G es una función que satisface:
Compare con los axiomas de una métrica y un álgebra filtrada .
Métrica de palabras
Un ejemplo importante de longitud es la palabra métrica : dada una presentación de un grupo por generadores y relaciones, la longitud de un elemento es la longitud de la palabra más corta que lo expresa.
Los grupos Coxeter (incluido el grupo simétrico ) tienen funciones combinatorias de longitud importantes, utilizando las reflexiones simples como generadores (por lo tanto, cada reflexión simple tiene una longitud de 1). Ver también: longitud de un elemento del grupo Weyl .
Un elemento más largo de un grupo Coxeter es importante y único hasta la conjugación (hasta diferentes opciones de reflejos simples).
Propiedades
Un grupo con una función de longitud no forma un grupo filtrado , lo que significa que el subnivel establece no forme subgrupos en general.
Sin embargo, el álgebra de grupo de un grupo con funciones de longitud forma un álgebra filtrada : el axioma corresponde al axioma de filtración.
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