En matemáticas, la ley de grupo formal de Lubin-Tate es una ley de grupo formal introducida por Lubin y Tate ( 1965 ) para aislar la parte del campo local de la teoría clásica de la multiplicación compleja de funciones elípticas . En particular, se puede utilizar para construir las extensiones abelianas totalmente ramificadas de un campo local. Lo hace considerando los endomorfismos (formales) del grupo formal, emulando la forma en que las curvas elípticas con endomorfismos adicionales se utilizan para dar extensiones abelianas de campos globales .
Definición de grupos formales
Sea Z p el anillo de p enteros ádicos. La ley de grupo formal de Lubin-Tate es la ley de grupo formal única (unidimensional) F tal que e ( x ) = px + x p es un endomorfismo de F , en otras palabras
De manera más general, la elección de e puede ser cualquier serie de potencias tal que
- e ( x ) = px + términos de grado superior y
- e ( x ) = x p mod p .
Todas estas leyes grupo, para diferentes opciones de correo cumplan estas condiciones, son estrictamente isomorfos. [1] Elegimos estas condiciones para asegurarnos de que reducen módulo el ideal máximo a Frobenius y la derivada en el origen es el elemento primo .
Para cada elemento a en Z p hay un endomorfismo f único de la ley de grupo formal de Lubin-Tate tal que f ( x ) = ax + términos de grado superior. Esto da una acción del anillo Z p en la ley de grupo formal de Lubin-Tate.
Existe una construcción similar en la que Z p se reemplaza por cualquier anillo de valoración discreto completo con un campo de clase de residuo finito , donde p se reemplaza por una opción de uniformizador . [2]
Ejemplo
Aquí esbozamos un grupo formal equivalente del elemento Frobenius , que es de gran importancia en la teoría de campos de clases , [3] generando la extensión máxima no ramificada como la imagen del mapa de reciprocidad.
Para este ejemplo, necesitamos la noción de un endomorfismo de grupos formales, que es un homomorfismo de grupo formal f donde el dominio es el codominio. Un homomorfismo de grupo formal de un grupo formal F a un grupo formal G es una serie de potencias sobre el mismo anillo que los grupos formales que tiene un término constante cero y es tal que:
Considere un grupo formal F (X, Y) con coeficientes en el anillo de números enteros en un campo local (por ejemplo, Z p ). Tomar X e Y en el ideal máximo único nos da una serie de potencia convergente y en este caso definimos F (X, Y) = X + F Y y tenemos una ley de grupo genuina. Por ejemplo, si F (X, Y) = X + Y , entonces esta es la adición habitual. Esto es isomorfo al caso de F (X, Y) = X + Y + XY , donde tenemos la multiplicación en el conjunto de elementos que se pueden escribir como 1 sumado a un elemento del ideal primo. En el último caso f (S) = ( 1 + S ) p -1 es un endomorfismo de F y el isomorfismo identifica f con el elemento Frobenius.
Generando extensiones ramificadas
La teoría de Lubin-Tate es importante en la teoría explícita del campo de clase local . La parte no ramificada de cualquier extensión abeliana se construye fácilmente, Lubin-Tate encuentra su valor en la producción de la parte ramificada. Esto funciona mediante la definición de una familia de módulos (indexados por los números naturales) sobre el anillo de números enteros que consisten en lo que se puede considerar como raíces de la serie de potencias repetidamente compuesta por sí misma. La composición de todos los campos formados al unir dichos módulos al campo original da la parte ramificada.
Una extensión de Lubin-Tate de un campo local K es una extensión abeliana de K obtenida al considerar los puntos de división p de un grupo de Lubin-Tate. Si g es un polinomio de Eisenstein , f ( t ) = t g ( t ) y F el grupo formal Lubin-Tate, sea θ n una raíz de gf n -1 ( t ) = g ( f ( f (⋯ ( f ( t )) ⋯))). Entonces K (θ n ) es una extensión abeliana de K con el grupo de Galois isomorfo a T / 1 + p n , donde U es el grupo de unidades del anillo de los enteros de K y p es el máximo ideal. [2]
Conexión con la teoría de la homotopía estable
Lubin y Tate estudiaron la teoría de la deformación de estos grupos formales. Una aplicación posterior de la teoría ha sido en el campo de la teoría de la homotopía estable , con la construcción de una teoría de cohomología extraordinaria particular asociada a la construcción de un primo p dado . Como parte de la maquinaria general para los grupos formales, se establece una teoría de cohomología con espectro para el grupo formal de Lubin-Tate, que también se conoce con los nombres de teoría E de Morava o teoría completa de Johnson-Wilson . [4]
Referencias
Notas
- ^ Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 49 (Segunda ed.). pag. 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
- ^ a b Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Matemáticas. Sci. 62 (2ª edición de la 1ª ed.). Springer-Verlag . págs. 62–63. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044 .
- ^ por ejemplo, Serre (1967). Hazewinkel, Michiel (1975). "La teoría del campo de clase local es fácil" . Avances en Matemáticas . 18 (2): 148–181. doi : 10.1016 / 0001-8708 (75) 90156-5 . Zbl 0312.12022 .
- ^ "Morava E-Theory y Morava K-Theory (Conferencia 22)" (PDF) . Jacob Lurie . 27 de abril de 2010 . Consultado el 27 de septiembre de 2020 .
Fuentes
- de Shalit, Ehud (1987), teoría de Iwasawa de curvas elípticas con multiplicación compleja. Funciones L p-ádicas , Perspectivas en Matemáticas, 3 , Academic Press, ISBN 0-12-210255-X, Zbl 0674.12004
- Iwasawa, Kenkichi (1986), teoría del campo de clase local , monografías matemáticas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, MR 0863740 , Zbl 0.604,12014
- Lubin, Jonathan ; Tate, John (1965), "Multiplicación compleja formal en campos locales", Annals of Mathematics , Second Series, 81 (2): 380–387, doi : 10.2307 / 1970622 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970622 , MR 0172878 , Zbl 0128.26501
- Lubin, Jonathan ; Tate, John (1966), "Módulos formales para grupos de Lie formales de un parámetro", Bulletin de la Société Mathématique de France , 94 : 49–59, doi : 10.24033 / bsmf.1633 , ISSN 0037-9484 , MR 0238854 , Zbl 0156.04105
- Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Serre, Jean-Pierre (1967), "Teoría del campo de clase local", en Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.), Teoría algebraica de números (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Academic Press, págs. 128-161, MR 0220701 , Zbl 0153.07403
enlaces externos
- Lurie, J. (2010), Teoría de Lubin-Tate (PDF)