En matemáticas , el criterio de Eisenstein da una condición suficiente para que un polinomio con coeficientes enteros sea irreducible sobre los números racionales , es decir, para que no sea factorizable en el producto de polinomios no constantes con coeficientes racionales.
Este criterio no es aplicable a todos los polinomios con coeficientes enteros irreductibles sobre los números racionales, pero sí permite en ciertos casos importantes probar la irreductibilidad con muy poco esfuerzo. Puede aplicarse directamente o después de la transformación del polinomio original.
Este criterio lleva el nombre de Gotthold Eisenstein . A principios del siglo XX, también se conocía como el teorema de Schönemann-Eisenstein porque Theodor Schönemann fue el primero en publicarlo. [1] [2]
Criterio
Supongamos que tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros .
Si existe un número primo p tal que se apliquen las siguientes tres condiciones:
- p divide cada a i para 0 ≤ i < n ,
- p no no dividir un n , y
- p 2 no no dividir un 0 ,
entonces Q es irreductible sobre los números racionales. También será irreductible sobre los enteros, a menos que todos sus coeficientes tengan un factor no trivial en común (en cuyo caso Q como polinomio entero tendrá algún número primo, necesariamente distinto de p , como factor irreducible). La última posibilidad se puede evitar haciendo primero Q primitivo , dividiéndolo por el máximo común divisor de sus coeficientes (el contenido de Q ). Esta división no cambia si Q es reducible o no sobre los números racionales (ver Factorización del contenido de partes primitivas para más detalles), y no invalidará las hipótesis del criterio para p (por el contrario, podría hacer que el criterio sea válido para algunos números primos , incluso si no lo hizo antes de la división).
Ejemplos de
El criterio de Eisenstein puede aplicarse directamente (es decir, usando el polinomio original) o después de la transformación del polinomio original.
Directo (sin transformación)
Considere el polinomio Q (x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10 . Para que el criterio de Eisenstein se aplique a un número primo p , debe dividir ambos coeficientes no principales 15 y 10 , lo que significa que solo p = 5 podría funcionar, y de hecho lo hace, ya que 5 no divide el coeficiente principal 3 y su cuadrado 25 no divide el coeficiente constante 10 . Por tanto, se puede concluir que Q es irreductible sobre Q (y, dado que es primitivo, también sobre Z ). Nótese que, dado que Q es de grado 4, esta conclusión no podría haberse establecido comprobando únicamente que Q no tiene raíces racionales (lo que elimina posibles factores de grado 1), ya que también podría ser posible una descomposición en dos factores cuadráticos.
Indirecto (después de la transformación)
A menudo, el criterio de Eisenstein no se aplica a ningún número primo. Sin embargo, puede ser que se aplique (para algún número primo) al polinomio obtenido después de la sustitución (para algún número entero a ) de x + a por x . El hecho de que el polinomio después de la sustitución sea irreducible permite concluir que el polinomio original también lo es. Este procedimiento se conoce como aplicar un turno .
Por ejemplo considere H = x 2 + x + 2 , en la que el coeficiente de 1 de x no es divisible por cualquier primer, el criterio de Eisenstein no se aplica a H . Pero si se sustituye x + 3 por x en H , se obtiene el polinomio x 2 + 7 x + 14 , que satisface el criterio de Eisenstein para el número primo 7 . Dado que la sustitución es un automorfismo del anillo Q [ x ] , el hecho de que obtengamos un polinomio irreducible después de la sustitución implica que originalmente teníamos un polinomio irreducible. En este ejemplo particular, habría sido más sencillo argumentar que H (siendo monica de grado 2) solo podría ser reducible si tuviera una raíz entera, lo que obviamente no tiene; sin embargo, el principio general de probar sustituciones para aplicar el criterio de Eisenstein es una forma útil de ampliar su alcance.
Otra posibilidad de transformar un polinomio para satisfacer el criterio, que puede combinarse con la aplicación de un desplazamiento, es invertir el orden de sus coeficientes, siempre que su término constante sea distinto de cero (sin el cual sería divisible por x de todos modos). Esto es así porque tales polinomios son reducibles en R [ x ] si y solo si son reducibles en R [ x , x −1 ] (para cualquier dominio integral R ), y en ese anillo la sustitución de x −1 por x se invierte el orden de los coeficientes (de una manera simétrica con respecto al coeficiente constante, pero un cambio siguiente en el exponente equivale a una multiplicación por una unidad). Como ejemplo, 2 x 5 - 4 x 2 - 3 satisface el criterio para p = 2 después de invertir sus coeficientes, y (siendo primitivo) es por lo tanto irreducible en Z [ x ] .
Polinomios ciclotómicos
Una clase importante de polinomios cuya irreductibilidad puede establecerse utilizando el criterio de Eisenstein es la de los polinomios ciclotómicos para números primos p . Dicho polinomio se obtiene dividiendo el polinomio x p - 1 por el factor lineal x - 1 , correspondiente a su raíz obvia 1 (que es su única raíz racional si p > 2 ):
Aquí, como en el ejemplo anterior de H , los coeficientes 1 impiden que el criterio de Eisenstein se aplique directamente. Sin embargo, el polinomio satisfará el criterio de p después de la sustitución de x + 1 por x : esto da
todos cuyos coeficientes no principales son divisibles por p por las propiedades de los coeficientes binomiales , y cuyo coeficiente constante es igual ap , y por lo tanto no es divisible por p 2 . Una forma alternativa de llegar a esta conclusión es utilizar la identidad ( a + b ) p = a p + b p que es válida en la característica p (y que se basa en las mismas propiedades de los coeficientes binomiales, y da lugar al Frobenius endomorfismo ), para calcular el módulo de reducción p del cociente de polinomios:
lo que significa que los coeficientes no principales del cociente son todos divisibles por p ; la verificación restante de que el término constante del cociente es p se puede hacer sustituyendo 1 (en lugar de x + 1 ) por x en la forma expandida x p −1 + ... + x + 1 .
Historia
Theodor Schönemann fue el primero en publicar una versión del criterio, [1] en 1846 en Crelle's Journal , [3] que se lee en traducción
Que ( x - a ) n + pF ( x ) será irreducible al módulo p 2 cuando F ( x ) al módulo p no contiene un factor x - a .
Esta formulación ya incorpora un cambio a un en lugar de 0 ; la condición de F ( x ) significa que F ( a ) no es divisible por p , por lo que pF ( a ) es divisible por p pero no por p 2 . Como se ha dicho, no es del todo correcto en el sentido de que no hace suposiciones sobre el grado del polinomio F ( x ) , por lo que el polinomio considerado no necesita ser del grado n que sugiere su expresión; el ejemplo x 2 + p ( x 3 + 1) ≡ ( x 2 + p ) ( px + 1) mod p 2 , muestra que la conclusión no es válida sin dicha hipótesis. Suponiendo que el grado de F ( x ) no exceda de n , el criterio es correcto sin embargo, y algo más fuerte que la formulación dada anteriormente, ya que si ( x - a ) n + pF ( x ) es irreducible módulo p 2 , ciertamente no se puede descomponer en Z [ x ] en factores no constantes.
Posteriormente, Eisenstein publicó una versión algo diferente en 1850, también en Crelle's Journal. [4] Esta versión se lee traducida
Cuando en un polinomio F ( x ) en x de grado arbitrario el coeficiente del término más alto es 1 , y todos los coeficientes siguientes son números enteros (reales, complejos), en los que se divide un cierto número primo (real o complejo) m , y cuando además el último coeficiente es igual a εm , donde ε denota un número no divisible por m : entonces es imposible traer F ( x ) a la forma
donde μ , ν ≥ 1 , μ + ν = ° ( F ( x )) , y todo un y b son todo números (resp verdadero complejos.); la ecuación F ( x ) = 0 es, por tanto, irreducible.
Aquí, los "números reales enteros" son enteros ordinarios y los "números complejos enteros" son enteros gaussianos ; uno debería interpretar de manera similar "números primos reales y complejos". La aplicación para la que Eisenstein desarrolló su criterio fue establecer la irreductibilidad de ciertos polinomios con coeficientes en los enteros gaussianos que surgen en el estudio de la división de la lemniscata en trozos de igual longitud de arco.
Sorprendentemente, Schönemann y Eisenstein, una vez formulados sus respectivos criterios de irreductibilidad, lo aplican inmediatamente para dar una prueba elemental de la irreductibilidad de los polinomios ciclotómicos para números primos, resultado que Gauss había obtenido en sus Disquisitiones Arithmeticae con una demostración mucho más complicada . De hecho, Eisenstein añade en una nota a pie de página que la única prueba de esta irreductibilidad que conoce, aparte de la de Gauss, es la que dio Kronecker en 1845. Esto demuestra que desconocía las dos pruebas diferentes de esta afirmación que Schönemann había hecho. dado en su artículo de 1846, donde la segunda prueba se basó en el criterio antes mencionado. Esto es tanto más sorprendente dado que dos páginas más adelante, Eisenstein en realidad se refiere (para un asunto diferente) a la primera parte del artículo de Schönemann. En una nota ("Notiz") que apareció en el siguiente número del Journal, [5] Schönemann señala esto a Eisenstein, e indica que el método de este último no es esencialmente diferente del que utilizó en la segunda prueba.
Prueba básica
Para probar la validez del criterio, suponga que Q satisface el criterio para el número primo p , pero que, no obstante, es reducible en Q [ x ] , de lo cual deseamos obtener una contradicción. Del lema de Gauss se deduce que Q también es reducible en Z [ x ] y, de hecho, se puede escribir como el producto Q = GH de dos polinomios no constantes G , H (en caso de que Q no sea primitivo, se aplica el lema al polinomio primitivo Q / c (donde el entero c es el contenido de Q ) para obtener una descomposición del mismo, y multiplica c en uno de los factores para obtener una descomposición de Q ). Ahora reduzca Q = GH módulo p para obtener una descomposición en ( Z / p Z ) [ x ] . Pero por hipótesis, esta reducción para Q deja su término principal, de la forma ax n para una constante distinta de cero a ∈ Z / p Z , como el único término distinto de cero. Pero entonces necesariamente las reducciones módulo p de G y H también hacen que todos los términos no principales desaparezcan (y no pueden hacer que sus términos principales desaparezcan), ya que no son posibles otras descomposiciones de ax n en ( Z / p Z ) [ x ] , que es un dominio de factorización único . En particular, los términos constantes de G y H desaparecen en la reducción, por lo que son divisibles por p , pero entonces el término constante de Q , que es su producto, es divisible por p 2 , contrariamente a la hipótesis, y se tiene una contradicción .
Una segunda prueba del criterio de Eisenstein también comienza con el supuesto de que el polinomio Q ( x ) es reducible. Se muestra que este supuesto conlleva una contradicción.
La suposición de que
es reducible significa que hay polinomios
Tal que
El coeficiente a 0 del polinomio Q ( x ) se puede dividir por el primo p pero no por p 2 . Desde un 0 = c 0 d 0 , es posible dividir c 0 o d 0 por p , pero no ambos. Se puede proceder sin pérdida de generalidad
- con un coeficiente c 0 que puede ser dividido por p y
- con un coeficiente d 0 que no se puede dividir entre p .
Por el supuesto, no divide . Como a n = c r d s , ni c r ni d s se pueden dividir por p . Por tanto, si es el -ésimo coeficiente del polinomio reducible , luego (posiblemente con en caso )
donde no puede ser dividido por , porque ni ni puede ser dividido por .
Probaremos que son todos divisibles por p . Comotambién es divisible por p (por hipótesis del criterio), esto implica que
es divisible por p , una contradicción que prueba el criterio.
Es posible dividir por , porque puede ser dividido por .
Por suposición inicial, es posible dividir el coeficiente a 1 del polinomio Q ( x ) por p . Desde
y dado que d 0 no es un múltiplo de p , debe ser posible dividir c 1 entre p . Análogamente, por inducción, es un múltiplo de para todos , que termina la prueba.
Explicación avanzada
Aplicando la teoría del polígono de Newton para el campo numérico p -ádico , para un polinomio de Eisenstein, se supone que debemos tomar la envolvente convexa inferior de los puntos
- (0, 1), (1, v 1 ), (2, v 2 ), ..., ( n - 1, v n −1 ), ( n , 0) ,
donde v i es la valoración p -ádica de a i (es decir, la potencia más alta de p dividiéndola). Ahora, los datos que se nos dan sobre el v i para 0 < i < n , es decir, que son al menos uno, es justo lo que necesitamos para concluir que la envolvente convexa inferior es exactamente el segmento de una sola línea de (0, 1) a ( n , 0) , siendo la pendiente −1 / n .
Esto nos dice que cada raíz de Q tiene una valoración p -ádica 1 / n y, por tanto, que Q es irreducible sobre el campo p -ádico (ya que, por ejemplo, ningún producto de ningún subconjunto propio de las raíces tiene valoración entera); ya fortiori sobre el campo de números racionales.
Este argumento es mucho más complicado que el argumento directo por reducción mod p . Sin embargo, permite ver, en términos de la teoría algebraica de números , con qué frecuencia podría aplicarse el criterio de Eisenstein, después de algún cambio de variable; y así limitar severamente las posibles elecciones de p con respecto a las cuales el polinomio podría tener una traducción de Eisenstein (es decir, convertirse en Eisenstein después de un cambio aditivo de variables como en el caso del p -ésimo polinomio ciclotómico).
De hecho, solo los primos que p ramifican en la extensión de Q generada por una raíz de Q tienen alguna posibilidad de funcionar. Estos se pueden encontrar en términos del discriminante de Q . Por ejemplo, en el caso x 2 + x + 2 dado arriba, el discriminante es −7 de modo que 7 es el único primo que tiene la posibilidad de hacer que satisfaga el criterio. Módulo 7 , se convierte en ( x - 3) 2 - una raíz repetida es inevitable, ya que el discriminante es 0 mod 7 . Por lo tanto, el cambio de variable es en realidad algo predecible.
Nuevamente, para el polinomio ciclotómico, se convierte en
- ( x - 1) p −1 mod p ;
se puede demostrar que el discriminante es (hasta el signo) p p −2 , mediante métodos de álgebra lineal .
Más precisamente, solo los primos totalmente ramificados tienen la posibilidad de ser primos de Eisenstein para el polinomio. (En campos cuadráticos, la ramificación es siempre total, por lo que la distinción no se ve en el caso cuadrático como x 2 + x + 2 arriba). De hecho, los polinomios de Eisenstein están directamente vinculados a primos totalmente ramificados, como sigue: si una extensión de campo de los racionales se genera por la raíz de un polinomio que es Eisenstein en p, entonces p está totalmente ramificado en la extensión y, a la inversa, si p está totalmente ramificado en un campo numérico, entonces el campo se genera por la raíz de un polinomio de Eisenstein en p .
Generalización
Criterio generalizado
Dado un dominio integral D , sea
ser un elemento de D [ x ] , el anillo de polinomios con coeficientes en D .
Supongamos que existe un ideal primo p de D tal que
- a i ∈ p para cada i ≠ n ,
- a n ∉ p , y
- a 0 ∉ p 2 , donde p 2 es el producto ideal de p consigo mismo.
Entonces Q no se puede escribir como un producto de dos polinomios no constantes en D [ x ] . Si además Q es primitivo (es decir, no tiene divisores constantes no triviales ), entonces es irreducible en D [ x ] . Si D es un dominio de factorización único con un campo de fracciones F , entonces, según el lema de Gauss, Q es irreducible en F [ x ] , sea primitivo o no (ya que los factores constantes son invertibles en F [ x ] ); en este caso, una posible elección del ideal primo es el de ideales principales generada por cualquier elemento irreductible de D . El último enunciado da el teorema original para D = Z o (en la formulación de Eisenstein) para D = Z [ i ] .
Prueba
La prueba de esta generalización es similar a la del enunciado original, considerando la reducción de los coeficientes módulo p ; El punto esencial es que un polinomio de un solo término sobre el dominio integral D / p no puede descomponerse como un producto en el que al menos uno de los factores tiene más de un término (porque en tal producto tampoco puede haber cancelación en el coeficiente del grado más alto o más bajo posible).
Ejemplo
Después de Z , uno de los ejemplos básicos de un dominio integral es el anillo polinomial D = k [ u ] en la variable u sobre el campo k . En este caso, el ideal principal generado por u es un ideal primo. El criterio de Eisenstein se puede utilizar para demostrar la irreductibilidad de un polinomio como Q ( x ) = x 3 + ux + u en D [ x ] . De hecho, u no divide un 3 , u 2 no divide un 0 , y u divide un 0 , un 1 y un 2 . Esto muestra que este polinomio satisface las hipótesis de la generalización del criterio de Eisenstein para el ideal primo p = ( u ) ya que, para un ideal principal ( u ) , ser un elemento de ( u ) equivale a ser divisible por u .
Ver también
- Criterio de irreductibilidad de Cohn
- Criterio de irreductibilidad de Perron
Notas
- ↑ a b Cox, 2011 .
- ^ Dorwart, 1935 .
- ↑ Schönemann (1846) , pág. 100.
- ↑ Eisenstein (1850) , p. 166.
- ↑ Schönemann (1850) , pág. 188.
Referencias
- Cox, David A. (2011), "Por qué Eisenstein demostró el criterio de Eisenstein y por qué Schönemann lo descubrió primero", American Mathematical Monthly , 118 (1): 3-31, CiteSeerX 10.1.1.398.3440 , doi : 10.4169 / amer. matemáticas.monthly.118.01.003.
- Dorwart, HL (1935), "Irreducibility of polyinomials", American Mathematical Monthly , 42 (6): 369–381, doi : 10.2307 / 2301357 , JSTOR 2301357.
- Eisenstein, Gotthold (1850), "Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (39): 160-179, doi : 10.1515 .1850.39.160.
- Garling, DJH (1986), Un curso de teoría de Galois , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-31249-3.
- "Ecuación algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
- Schönemann, Theodor (1846), "Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1846 (32): 93-118, doi : 10.1515 / crll.1846.32.93.
- Schönemann, Theodor (1850), "Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irreductible Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (40): 185-188, doi : 10.1515 / crll.1850.40.185.