En álgebra abstracta , un anillo de valoración discreto ( DVR ) es un dominio ideal principal (PID) con exactamente un ideal máximo distinto de cero .
Esto significa que un DVR es un dominio integral R que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- R es un dominio ideal principal local y no un campo .
- R es un anillo de valoración con un grupo de valores isomorfo a los números enteros bajo la suma.
- R es un dominio local de Dedekind y no un campo.
- R es un dominio local noetheriano cuyo ideal máximo es principal y no un campo. [1]
- R es un anillo local noetheriano integralmente cerrado con dimensión uno de Krull .
- R es un dominio ideal principal con un ideal primo único distinto de cero .
- R es un dominio ideal principal con un elemento irreducible único ( hasta la multiplicación por unidades ).
- R es un dominio de factorización único con un elemento irreducible único (hasta la multiplicación por unidades).
- R es noetheriano, no un campo , y todo ideal fraccionario distinto de cero de R es irreducible en el sentido de que no puede escribirse como una intersección finita de ideales fraccionarios que lo contengan adecuadamente.
- Existe una valoración discreta ν en el campo de las fracciones K de R tal que R = {0}{ x K : ν ( x ) ≥ 0}.
Ejemplos de
Algebraico
Localización de anillos de Dedekind
Cualquier localización de un dominio Dedekind en un ideal primo distinto de cero es un anillo de valoración discreto; en la práctica, así es como surgen frecuentemente los anillos de valoración discretos. En particular, podemos definir anillos
para cualquier primo p en completa analogía.
enteros p-ádicos
El anillo de enteros p -adic es un DVR, para cualquier primo . Aquíes un elemento irreductible ; la valoración asigna a cada-ádico entero el entero más grande tal que divide .
Localización de a
Dejar . Entonces, el campo de fracciones de es . Para cualquier elemento distinto de cero de , podemos aplicar factorización única al numerador y denominador de r para escribir r como2 k z/nortedonde z , n y k son números enteros con z y n impares. En este caso, definimos ν ( r ) = k . Luegoes el anillo de valoración discreto correspondiente a ν. El ideal máximo de es el ideal principal generado por 2, es decir , y el elemento irreducible "único" (hasta unidades) es 2 (esto también se conoce como parámetro de uniformización).
Tenga en cuenta que es la localización del dominio Dedekind en el ideal principal generado por 2.
Serie de poder formal
Otro ejemplo importante de un DVR es el anillo de la serie de potencia formal. en una variable sobre un campo . El elemento irreductible "único" es, el ideal máximo de es el principal ideal generado por , y la valoración asigna a cada serie de potencias el índice (es decir, el grado) del primer coeficiente distinto de cero.
Si nos limitamos a coeficientes reales o complejos , podemos considerar el anillo de series de potencias en una variable que convergen en una vecindad de 0 (con la vecindad dependiendo de la serie de potencias). Este es un anillo de valoración discreto. Esto es útil para construir la intuición con el criterio valorativo de propiedad .
Ring en el campo de función
Para un ejemplo de naturaleza más geométrica, tome el anillo R = { f / g : f , g polinomios en R [ X ] y g (0) ≠ 0}, considerado como un subanillo del campo de funciones racionales R ( X ) en la variable X . R se puede identificar con el anillo de todas las funciones racionales de valor real definidas (es decir, finitas) en una vecindad de 0 en el eje real (con la vecindad dependiendo de la función). Es un anillo de valoración discreto; el elemento irreducible "único" es X y la valoración asigna a cada función f el orden (posiblemente 0) del cero de f en 0. Este ejemplo proporciona la plantilla para estudiar curvas algebraicas generales cerca de puntos no singulares, la curva algebraica en este caso es la línea real.
Teórico de esquemas
Rasgo henseliano
Para un DVR es común escribir el campo de fracción como y el campo de residuos. Estos corresponden a los puntos genéricos y cerrados de Por ejemplo, el punto cerrado de es y el punto genérico es . A veces esto se denota como
dónde es el punto genérico y es el punto cerrado.
Localización de un punto en una curva
Dada una curva algebraica , el anillo local en un punto suave es un anillo de valoración discreto, porque es un anillo de valoración principal. Nota porque el puntoes suave, la finalización del anillo local es isomorfa a la finalización de la localización de en algún momento .
Parámetro de uniformización
Dado un DVR R , cualquier elemento irreducible de R es un generador del ideal máximo único de R y viceversa. Tal elemento también se llama un parámetro de uniformización de R (o un elemento de uniformización , un Uniformizador , o un elemento de primer ).
Si fijamos un parámetro de uniformización t , entonces M = ( t ) es el ideal máximo único de R , y cualquier otro ideal distinto de cero es una potencia de M , es decir, tiene la forma ( t k ) para algún k ≥0. Todos los poderes de t son distintos, y también lo son las potencias de M . Cada elemento x distinto de cero de R se puede escribir en la forma α t k con α una unidad en R y k ≥0, ambos determinados unívocamente por x . La valoración viene dada por ν ( x ) = kv ( t ). Entonces, para comprender el anillo por completo, es necesario conocer el grupo de unidades de R y cómo las unidades interactúan de forma aditiva con las potencias de t .
La función v también convierte cualquier anillo de valoración discreto en un dominio euclidiano . [ cita requerida ]
Topología
Cada anillo de valoración discreto, al ser un anillo local , tiene una topología natural y es un anillo topológico . También podemos darle un espacio métrico estructura en la que la distancia entre dos elementos x y y se puede medir como sigue:
(o con cualquier otro número real fijo> 1 en lugar de 2). Intuitivamente: un elemento z es "pequeño" y "cercano a 0" si su valoración ν ( z ) es grande. La función | xy |, complementada por | 0 | = 0, es la restricción de un valor absoluto definido en el campo de fracciones del anillo de valoración discreto.
Un DVR es compacto si y solo si está completo y su campo de residuos R / M es un campo finito .
Ejemplos de DVR completos incluyen
- el anillo de enteros p -ádicos y
- el anillo de la serie de poder formal sobre cualquier campo
Para un DVR dado, a menudo se pasa hasta su finalización , un DVR completo que contiene el anillo dado que a menudo es más fácil de estudiar. Este procedimiento de finalización puede concebirse de forma geométrica como el paso de las funciones racionales a las series de potencias , o de los números racionales a los reales .
Volviendo a nuestros ejemplos: el anillo de todas las series de potencias formales en una variable con coeficientes reales es la finalización del anillo de funciones racionales definidas (es decir, finitas) en una vecindad de 0 en la línea real; también es la finalización del anillo de todas las series de potencias reales que convergen cerca de 0. La finalización de(que puede verse como el conjunto de todos los números racionales que son p -enteros ádicos) es el anillo de todos los p -enteros ádicos Z p .
Ver también
- Categoría: Localización (matemáticas)
- Anillo local
- Ramificación de campos locales
- Anillo de Cohen
- Anillo de valoración
Referencias
- ^ https://mathoverflow.net/a/155639/114772
- Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.a ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7, Señor 2286236
- Anillo de valoración discreta , La Enciclopedia de las Matemáticas .