En las matemáticas de los sistemas dinámicos , Kaplan y Yorke [1] sugirieron el concepto de dimensión de Lyapunov para estimar la dimensión de Hausdorff de los atractores . Además, el concepto se ha desarrollado y justificado rigurosamente en varios artículos, y en la actualidad se utilizan varios enfoques diferentes para la definición de la dimensión de Lyapunov. Observe que los atractores con dimensión de Hausdorff no entera se denominan atractores extraños . [2]Dado que el cálculo numérico directo de la dimensión de Hausdorff de los atractores es a menudo un problema de alta complejidad numérica, las estimaciones a través de la dimensión de Lyapunov se difundieron ampliamente. La dimensión de Lyapunov fue nombrada [3] en honor al matemático ruso Aleksandr Lyapunov debido a la estrecha conexión con los exponentes de Lyapunov .
Definiciones
Considere un sistema dinámico , dónde es el operador de turno a lo largo de las soluciones: , de EDO , , o ecuación de diferencia , , con función vectorial continuamente diferenciable . Luegoes la matriz fundamental de soluciones del sistema linealizado y se denota por, valores singulares con respecto a su multiplicidad algebraica , ordenados decrecientes para cualquier y .
Definición a través de la dimensión de Lyapunov en tiempo finito
El concepto de dimensión de Lyapunov de tiempo finito y la definición relacionada de la dimensión de Lyapunov, desarrollado en los trabajos de N. Kuznetsov , [4] [5] es conveniente para los experimentos numéricos donde solo se puede observar el tiempo finito. Considere un análogo de la fórmula de Kaplan-Yorke para los exponentes de Lyapunov de tiempo finito:
con respecto al conjunto ordenado de exponentes de Lyapunov en tiempo finito en el punto . La dimensión de Lyapunov de tiempo finito del sistema dinámico con respecto al conjunto invariante se define de la siguiente manera
En este enfoque, el uso del análogo de la fórmula de Kaplan-Yorke está rigurosamente justificado por el teorema de Douady-Oesterlè, [6] que prueba que para cualquierla dimensión de Lyapunov en tiempo finito para un conjunto invariante acotado cerrado es una estimación superior de la dimensión de Hausdorff:
Buscando la mejor estimación de este tipo , la dimensión de Lyapunov se define de la siguiente manera: [4] [5]
Las posibilidades de cambiar el orden del límite de tiempo y el sobreconjunto superior se discuten, por ejemplo, en. [7] [8]
Tenga en cuenta que la dimensión de Lyapunov definida anteriormente es invariante bajo los difeomorfismos de Lipschitz . [4] [9]
Dimensión exacta de Lyapunov
Deje que la matriz jacobiana en uno de los equilibrios tienen valores propios reales simples: , luego
Si el supremo de las dimensiones locales de Lyapunov en el atractor global, que involucra todos los equilibrios, se logra en un punto de equilibrio, entonces esto permite obtener una fórmula analítica de la dimensión exacta de Lyapunov del atractor global (ver la conjetura de Eden correspondiente ).
Definición a través del enfoque de la física estadística y la ergodicidad.
Siguiendo el enfoque de la física estadística y asumiendo la ergodicidad, la dimensión de Lyapunov del atractor se estima [1] por el valor límite de la dimensión local de Lyapunov.de una trayectoria típica , que pertenece al atractor. En este caso y . Desde un punto de vista práctico, el uso riguroso del teorema ergódico de Oseledec , verificación de que la trayectoria consideradaes una trayectoria típica , y el uso de la fórmula de Kaplan-Yorke correspondiente es una tarea desafiante (ver, por ejemplo, discusiones en [10] ). Los valores límite exactos de los exponentes de Lyapunov de tiempo finito, si existen y son los mismos para todos, Son llamados los absolutos los [3] y se utiliza en la fórmula de Kaplan-Yorke . Se pueden encontrar ejemplos del uso riguroso de la teoría ergódica para el cálculo de los exponentes y la dimensión de Lyapunov en. [11] [12] [13]
Referencias
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