En geometría , la configuración de Möbius o tétradas de Möbius es una cierta configuración en el espacio euclidiano o espacio proyectivo, que consta de dos tetraedros inscritos mutuamente : cada vértice de un tetraedro se encuentra en un plano de cara del otro tetraedro y viceversa. Por lo tanto, para el sistema resultante de ocho puntos y ocho planos, cada punto se encuentra en cuatro planos (los tres planos lo definen como un vértice de un tetraedro y el cuarto plano del otro tetraedro en el que se encuentra), y cada plano contiene cuatro puntos (los tres vértices del tetraedro de su cara y el vértice del otro tetraedro que se encuentra en él).
Teorema de moebius
La configuración lleva el nombre de August Ferdinand Möbius , quien en 1828 demostró que, si dos tetraedros tienen la propiedad de que siete de sus vértices se encuentran en planos de caras correspondientes del otro tetraedro, entonces el octavo vértice también se encuentra en el plano de su cara correspondiente, formando una configuración de este tipo. Este teorema de incidencia es cierto de manera más general en un espacio proyectivo tridimensional si y solo si el teorema de Pappus se cumple para ese espacio ( Reidemeister , Schönhardt ), y es cierto para un espacio tridimensional modelado en un anillo de división si y solo si el anillo satisface la ley conmutativa y, por lo tanto, es un campo (Al-Dhahir). Por dualidad proyectiva , el resultado de Möbius es equivalente a la afirmación de que, si siete de los ocho planos de caras de dos tetraedros contienen los vértices correspondientes del otro tetraedro, entonces el octavo plano de caras también contiene el mismo vértice.
Construcción
Coxeter (1950) describe una construcción simple para la configuración. Comenzando con un punto arbitrario p en el espacio euclidiano, sean A , B , C y D cuatro planos a través de p , ninguno de los cuales comparten una línea de intersección común, y coloque los seis puntos q , r , s , t , u , y v en las seis líneas formadas por la intersección por pares de estos planos de tal manera que ninguna de cuatro de estos puntos son coplanares. Para cada uno de los planos A , B , C , y D , cuatro de los siete puntos p , q , r , s , t , u , y v de mentiras en ese avión y tres están inconexos de ella; forman los planos A ' , B' , C ' y D' a través de los triples de puntos separados de A , B , C y D respectivamente. Entonces, por la forma dual del teorema de Möbius, estos cuatro nuevos planos se encuentran en un solo punto w . Los ocho puntos p , q , r , s , t , u , v , yw y los ocho planos A , B , C , D , A ' , B' , C ' y D' forman una instancia de la configuración de Möbius .
Construcciones relacionadas
Hilbert y Cohn-Vossen (1952) afirman (sin referencias) que hay cinco configuraciones que tienen ocho puntos y ocho planos con cuatro puntos en cada plano y cuatro planos a través de cada punto que son realizables en el espacio euclidiano tridimensional: tales configuraciones tienen la notación abreviada. Deben haber obtenido su información del artículo de Ernst Steinitz ( 1910 ). Esto en realidad establece, dependiendo de los resultados de P. Muth ( 1892 ), G. Bauer ( 1897 ) y V. Martinetti ( 1897 ), que hay cincoconfiguraciones con la propiedad de que como máximo dos planos tienen dos puntos en común, y que como máximo dos puntos son comunes a dos planos. (Esta condición significa que cada tres puntos pueden ser no colineales y que dos planos pueden no tener una línea en común). Sin embargo, hay otros diezconfiguraciones que no tienen esta condición, y las quince configuraciones son realizables en un espacio tridimensional real. Las configuraciones de interés son aquellas con dos tetraedros, cada una inscribiendo y circunscribiendo a la otra, y estas son precisamente las que satisfacen la propiedad anterior. Por lo tanto, hay cinco configuraciones con tetraedros, y corresponden a las cinco clases de conjugación del grupo simétrico. Se obtiene una permutación de los cuatro puntos de un tetraedro S = ABCD a sí mismo de la siguiente manera: cada punto P de S está en un plano que contiene tres puntos del segundo tetraedro T. Esto deja el otro punto de T, que está en tres puntos de un plano de S, dejando otro punto Q de S, y así los mapas de permutación P → Q.Las cinco clases de conjugación tienen representantes e, (12) (34), (12), (123), (1234) y, de estos, la configuración de Möbius corresponde a la clase de conjugación e. Podría denotarse Ke. Steinitz afirma que si dos de los tetraedros complementarios de Ke son, y entonces los ocho planos vienen dados por con impar, mientras que las sumas pares y sus complementos corresponden a todos los pares de tetraedros complementarios que inciden y circunscriben en el modelo de Ke.
También se afirma que Steinitz que el único que es un teorema geométrico es la configuración de Möbius. Sin embargo, eso se discute: Glynn (2010) muestra el uso de una búsqueda por computadora y prueba que hay precisamente dosque son en realidad "teoremas": la configuración de Möbius y otro. Este último (que corresponde a la clase de conjugación (12) (34) anterior) también es un teorema para todos los espacios proyectivos tridimensionales sobre un campo , pero no sobre un anillo de división general . Hay otras similitudes cercanas entre las dos configuraciones, incluido el hecho de que ambas son auto-duales bajo la dualidad Matroid . En términos abstractos, esta última configuración tiene "puntos" 0, ..., 7 y "planos" 0125 + i, (i = 0, ..., 7), donde estos números enteros son módulo ocho. Esta configuración, como Möbius, también se puede representar como dos tetraedros, inscritos y circunscritos mutuamente: en la representación entera, los tetraedros pueden ser 0347 y 1256. Sin embargo, estos doslas configuraciones no son isomorfas, ya que Möbius tiene cuatro pares de planos disjuntos, mientras que el último no tiene planos disjuntos. Por una razón similar (y porque los pares de planos son superficies cuadráticas degeneradas), la configuración de Möbius está en más superficies cuadráticas del espacio tridimensional que la última configuración.
El gráfico de Levi de la configuración de Möbius tiene 16 vértices, uno para cada punto o plano de la configuración, con una arista para cada par de punto-plano incidente. Es isomorfo al gráfico del hipercubo de 16 vértices Q 4 . Una configuración estrechamente relacionada, la configuración de Möbius-Kantor formada por dos cuadriláteros inscritos mutuamente, tiene el gráfico de Möbius-Kantor , un subgrafo de Q 4 , como su gráfico de Levi.
Referencias
- Al-Dhahir, MW (1956), "Una clase de configuraciones y la conmutatividad de la multiplicación", The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 40 (334): 241–245, doi : 10.2307 / 3609605 , JSTOR 3609605.
- Bauer, Gustav (1897), "Von zwei Tetraëdern, welche einander zugleich eingeschrieben und umschrieben sind" , Sitzungsberichte der Akademie der Bayerischen Königlich Wissenschaften, Mathematisch-Physikalischen Classe (en alemán), 27 (2): 359-366.
- Coxeter, HSM (1950), "Configuraciones auto-duales y gráficos regulares", Boletín de la American Mathematical Society , 56 (5): 413–455, doi : 10.1090 / S0002-9904-1950-09407-5 , MR 0038078.
- Glynn, DG (2010), "Teoremas de puntos y planos en el espacio proyectivo tridimensional", Revista de la Sociedad Matemática Australiana , 88 : 75–92, doi : 10.1017 / S1446788708080981.
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2ª ed.), Chelsea, p. 184, ISBN 0-8284-1087-9.
- Martinetti, V. (1897), "Le configurazioni (8 4 , 8 4 ) di punti e piani" , Giornale di Matematiche di Battaglini (en italiano), 35 : 81–100.
- Möbius, AF (1828), "Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heißen?" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 3 : 273–278. En Gesammelte Werke (1886), vol. 1, págs. 439–446.
- Muth, P. (1892), "Ueber Tetraederpaare" , Zeitschrift für Mathematik und Physik (en alemán), 37 : 117-122.
- Reidemeister, K. (1929), "Zur Axiomatik der 3-dimensionalen projektive Geometrie" , Aufgaben und Lösungen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 38 : 71.
- Reidemeister, K. (1931), "Aufgabe 63 (gestellt in Jahresbericht DMV 38 (1929), 71 kursiv). Lösung von E. Schönhardt" , Aufgaben und Lösungen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 40 : 48–50.
- Steinitz, Ernst (1910), "Konfigurationen der projektiven Geometrie. 6. Konfigurationen von Punkten und Ebenen", Enzyklopädie der mathischen Wissenschaften , 3-1-1 AB 5a: 492–494, doi : 10.1007 / 978-3-663-16027 -4_7.