En geometría , la configuración de Möbius-Kantor es una configuración que consta de ocho puntos y ocho líneas, con tres puntos en cada línea y tres líneas a través de cada punto. No es posible dibujar puntos y líneas que tengan este patrón de incidencias en el plano euclidiano , pero es posible en el plano proyectivo complejo .
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Coordenadas
August Ferdinand Möbius ( 1828 ) preguntó si existe un par de polígonos con p lados cada uno, con la propiedad de que los vértices de un polígono se encuentran en las líneas que atraviesan los bordes del otro polígono, y viceversa. Si es así, los vértices y los bordes de estos polígonos formarían una configuración proyectiva . Parano hay solución en el plano euclidiano , pero Seligmann Kantor ( 1882 ) encontró pares de polígonos de este tipo, para una generalización del problema en el que los puntos y aristas pertenecen al plano proyectivo complejo . Es decir, en la solución de Kantor, las coordenadas de los vértices del polígono son números complejos . La solución de Kantor para, un par de cuadriláteros inscritos mutuamente en el plano proyectivo complejo, se llama configuración Möbius-Kantor.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/63/M%C3%B6bius%E2%80%93Kantor_configuration.svg/290px-M%C3%B6bius%E2%80%93Kantor_configuration.svg.png)
Harold Scott MacDonald Coxeter ( 1950 ) proporciona las siguientes coordenadas proyectivas complejas simples para los ocho puntos de la configuración de Möbius-Kantor:
- (1,0,0), (0,0,1), (ω, −1, 1), (−1, 0, 1),
- (−1, ω 2 , 1), (1, ω, 0), (0,1,0), (0, −1,1),
donde ω denota una raíz cúbica compleja de 1 .
Estos son los vértices del polígono complejo 3 {3} 3 con los 8 vértices y los 8 3 aristas. [1] Coxeter lo nombró polígono de Möbius-Kantor .
Patrón de incidencia abstracto
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/77/M%C3%B6bius%E2%80%93Kantor_unit_distance.svg/220px-M%C3%B6bius%E2%80%93Kantor_unit_distance.svg.png)
De manera más abstracta, la configuración de Möbius-Kantor se puede describir como un sistema de ocho puntos y ocho triples de puntos de manera que cada punto pertenece exactamente a tres de los triples. Con las condiciones adicionales (naturales para puntos y líneas) de que ningún par de puntos pertenece a más de un triple y que no hay dos triples que tengan más de un punto en su intersección, dos sistemas cualesquiera de este tipo son equivalentes bajo alguna permutación de los puntos. . Es decir, la configuración de Möbius-Kantor es la configuración proyectiva única de tipo (8 3 8 3 ).
El gráfico de Möbius-Kantor deriva su nombre de ser el gráfico de Levi de la configuración de Möbius-Kantor. Tiene un vértice por punto y un vértice por triple, con una arista que conecta dos vértices si corresponden a un punto y a un triple que contiene ese punto.
Los puntos y líneas de la configuración Möbius-Kantor pueden describirse como un matroide , cuyos elementos son los puntos de la configuración y cuyos planos no triviales son las líneas de la configuración. En esta matroide, un conjunto S de puntos es independiente si y solo sio S consta de tres puntos no colineales. Como matroide, se le ha llamado matroide de MacLane , por el trabajo de Saunders MacLane ( 1936 ) que demuestra que no se puede orientar ; es uno de varios matroides no orientables menores-mínimos conocidos . [2]
Configuraciones relacionadas
La solución al problema de Möbius de polígonos mutuamente inscritos para valores de p mayores que cuatro también es de interés. En particular, una posible solución paraEs la configuración de Desargues , un conjunto de diez puntos y diez líneas, tres puntos por línea y tres líneas por punto, que sí admite una realización euclidiana. La configuración de Möbius es un análogo tridimensional de la configuración de Möbius-Kantor que consta de dos tetraedros inscritos mutuamente.
La configuración de Möbius-Kantor se puede aumentar agregando cuatro líneas a través de los cuatro pares de puntos que aún no estén conectados por líneas, y agregando un noveno punto en las cuatro nuevas líneas. La configuración resultante, la configuración de Hesse , comparte con la configuración de Möbius-Kantor la propiedad de ser realizable con coordenadas complejas pero no con coordenadas reales. [3] Eliminar cualquier punto de la configuración de Hesse produce una copia de la configuración de Möbius-Kantor. Ambas configuraciones también pueden describirse algebraicamente en términos del grupo abeliano con nueve elementos. Este grupo tiene cuatro subgrupos de orden tres (los subconjuntos de elementos del formulario, , , y respectivamente), cada uno de los cuales se puede utilizar para dividir los nueve elementos del grupo en tres clases laterales de tres elementos por clase lateral. Estos nueve elementos y doce cosets forman la configuración de Hesse. La eliminación del elemento cero y las cuatro clases laterales que contienen cero da lugar a la configuración de Möbius-Kantor.
Notas
- ^ HSM Coxeter y GC Shephard , Retratos de una familia de politopos complejos , Leonardo, Vol. 25, No. 3/4, Matemáticas visuales: Edición especial doble (1992), págs. 239-244. [1]
- ^ Ziegler (1991) .
- ^ Dolgachev (2004) .
Referencias
- Coxeter, HSM (1950), "Configuraciones auto-duales y gráficos regulares", Boletín de la American Mathematical Society , 56 (5): 413–455, doi : 10.1090 / S0002-9904-1950-09407-5 , MR 0038078.
- Dolgachev, Igor V. (2004), "Configuraciones abstractas en geometría algebraica", Conferencia Fano , Turín: Universidad de Torino, págs. 423–462, arXiv : math.AG/0304258 , MR 2112585.
- Kantor, Seligmann (1882), "Über die Configurationen (3, 3) mit den Indices 8, 9 und ihren Zusammenhang mit den Curven dritter Ordnung", Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften , 84 (1) Wien : 915–932.
- MacLane, Saunders (1936), "Algunas interpretaciones de la dependencia lineal abstracta en términos de geometría proyectiva", American Journal of Mathematics , 58 (1): 236-240, doi : 10.2307 / 2371070 , MR 1507146.
- Möbius, August Ferdinand (1828), "Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen?" (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 3 : 273–278. En Gesammelte Werke (1886), vol. 1, págs. 439–446.
- Ziegler, Günter M. (1991), "Algunas matroides no orientables mínimas de rango tres", Geometriae Dedicata , 38 (3): 365–371, doi : 10.1007 / BF00181199 , MR 1112674.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Configuración de Möbius-Kantor" . MathWorld .