El teorema de Mackey-Arens es un teorema importante en el análisis funcional que caracteriza las topologías vectoriales localmente convexas que tienen un espacio dado de funcionales lineales como su espacio dual continuo . Según Narici (2011), este profundo resultado es fundamental para la teoría de la dualidad ; una teoría que es "la parte central de la teoría moderna de los espacios vectoriales topológicos". [1]
Prerrequisitos
Deje X un espacio vectorial y dejar Y un subespacio vectorial de la algebraica doble de X que separa los puntos en X . Si 𝜏 es cualquier otra topología de espacio vectorial topológica de Hausdorff localmente convexa en X , entonces decimos que 𝜏 es compatible con la dualidad entre X e Y si cuando X está equipado con 𝜏 , entonces tiene Y como su espacio dual continuo. Si le damos a X la topología débil 𝜎 ( X , Y ), entonces X 𝜎 ( X , Y ) es un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) de Hausdorff y 𝜎 ( X , Y ) es compatible con la dualidad entre X e Y (es decir,). Ahora podemos hacer la pregunta: ¿cuáles son todas las topologías de TVS de Hausdorff localmente convexas que podemos colocar en X que son compatibles con la dualidad entre X e Y ? La respuesta a esta pregunta se llama teorema de Mackey-Arens .
Teorema de Mackey-Arens
Mackey-Arens teorema [2] - Let X un espacio vectorial y dejar que sea un 𝒯 localmente convexa Hausdorff topológico vectorial topología espacio en X . Sea X ' el espacio dual continuo de X y seadenotar X con la topología 𝒯. Entonces los siguientes son equivalentes:
- 𝒯 es idéntico a un -topología en X , dondees una cobertura de < X 'que consta de conjuntos convexos, equilibrados, σ ( X ' , X ) compactos con las propiedades que
- Si entonces existe un tal que , y
- Si y es un escalar, entonces existe un tal que .
- El dual continuo de es idéntico a X ' .
Y además,
- la topología 𝒯 es idéntica a la topología ε ( X , X ' ) , es decir, a la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de X ' .
- La topología de Mackey τ ( X , X ' ) es la topología de TVS de Hausdorff localmente convexa más fina en X que es compatible con la dualidad entre X y, y
- la topología débil σ ( X , X ' ) es la topología de TVS de Hausdorff localmente convexa más débil en X que es compatible con la dualidad entre X y.
Ver también
Referencias
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 122.
- ^ Trèves 2006 , págs. 196, 368–370.
Fuentes
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .