Un maridaje es un triple que consta de dos espacios vectoriales sobre un campo (ya sean números reales o números complejos ) y un mapa bilinealUn par dual o un sistema dual es un emparejamiento satisfaciendo los siguientes dos axiomas de separación:
separa / distingue puntos de : para todo distinto de cero existe tal que y
separa / distingue puntos de : para todo distinto de cero existe tal que
Polares
El polar o polar absoluto de un subconjuntoes el conjunto [1]
Dualmente, el polar o polar absoluto de un subconjunto se denota por y definido por
En este caso, el polar absoluto de un subconjunto también se llama el prepolar de y puede ser denotado por
Si entonces el bipolar de denotado por es definido por Del mismo modo, si entonces el bipolar de se define para ser
Topologías débiles
Suponer que es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre
Notación : para todos dejar denotar el funcional lineal en definido por y deja
Del mismo modo, para todos dejar ser definido por y deja
La topología débil en Inducido por (y ) es la topología de TVS más débil en denotado por o simplemente haciendo todos los mapas continuo, como se extiende sobre [3] De manera similar, existe la definición dual de la topología débil en Inducido por (y ), que se denota por o simplemente : es la topología de TVS más débil en haciendo todos los mapas continuo, como se extiende sobre [3]
Delimitación débil y polares absorbentes.
Es debido al siguiente teorema que casi siempre se supone que la familia consiste en -subconjuntos delimitados de [3]
Teorema : para cualquier subconjunto los siguientes son equivalentes:
Si esta condición no se cumple entonces puede no ser posiblemente un entorno del origen en cualquier topología de TVS;
es un - conjunto acotado ; dicho de otra manera, es un subconjunto acotado de ;
para todos donde este supremo también puede ser denotado por
La -subconjuntos delimitados de tienen una caracterización análoga.
Definiciones y resultados duales
Cada maridaje se puede asociar con un emparejamiento correspondiente donde por definición [3]
Hay un tema que se repite en la teoría de la dualidad, que es que cualquier definición de emparejamiento tiene una definición dual correspondiente para el emparejamiento
Convención y definición : dada cualquier definición de pareja se obtiene una definición dual aplicándola al emparejamiento Si la definición depende del orden de y (por ejemplo, la definición de "la topología débil definido en por ") luego cambiando el orden de y significa que esta definición debe aplicarse a (por ejemplo, esto nos da la definición de "la topología débil definido en por ").
Por ejemplo, después de definir " distingue puntos de "(resp," es un subconjunto total de ") como arriba, entonces la definición dual de" distingue puntos de "(resp," es un subconjunto total de ") se obtiene inmediatamente. Por ejemplo, una vez está definido, entonces debe asumirse automáticamente que se ha definido sin mencionar la definición análoga. Lo mismo se aplica a muchos teoremas.
Convención : adherirse a la práctica común, a menos que se necesite claridad, siempre que se dé una definición (o resultado) para un emparejamiento a continuación, se omitirá la correspondiente definición dual (o resultado) pero, no obstante, se podrá utilizar.
En particular, aunque este artículo solo definirá la noción general de topologías polares en con siendo una colección de -subconjuntos delimitados de No obstante, este artículo utilizará la definición dual para topologías polares en con siendo una colección de -subconjuntos delimitados de
Identificacion de con
Aunque es técnicamente incorrecto y un abuso de notación, la siguiente convención es casi omnipresente:
Convención : este artículo utilizará la práctica común de tratar un emparejamiento indistintamente con y también denotando por
Topologías polares
A lo largo de, es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre el campo y es una colección no vacía de -subconjuntos delimitados de
forma un barrio sub base en el origen. [3] Cuando está dotado con esto -topología, entonces se denota por
Si es una secuencia de números positivos que convergen a luego la subbase de vecindad definitoria en puede ser reemplazado con
sin cambiar la topología resultante.
Cuándo es un conjunto dirigido con respecto a la inclusión de subconjuntos (es decir, si para todos existe algo tal que ) entonces la subbase de vecindad definitoria en el origen forma realmente una base de vecindad en[3]
Si cada múltiplo escalar positivo de un conjunto en está contenido en algún conjunto perteneciente a entonces la subbase de vecindad definitoria en el origen se puede reemplazar con
sin cambiar la topología resultante.
El siguiente teorema da formas en las que se puede modificar sin cambiar el resultado -topología en
Teorema [3] - Sea es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre y deja ser una colección no vacía de -subconjuntos delimitados de La -topología en no se altera si se sustituye por cualquiera de las siguientes colecciones de [-limitado] subconjuntos de :
todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de conjuntos en ;
todos los múltiplos escalares de todos los conjuntos en ;
Es debido a este teorema que muchos autores requieren a menudo que también satisfacen las siguientes condiciones adicionales:
La unión de dos conjuntos cualesquiera está contenido en algún conjunto ;
Todos los múltiplos escalares de cada pertenece a
Algunos autores [4] asumen además que cada pertenece a algún conjunto porque esta suposición es suficiente para asegurar que la -La topología es Hausdorff.
Convergencia de redes y filtros
Si es una red en luego en el -topología en si y solo si para cada o en palabras, si y solo si para cada la red de funcionales lineales en converge uniformemente a en ; aquí, para cada el funcional lineal es definido por
Si luego en el -topología en si y solo si para todos
Un filtro en converge a un elemento en el -topología en Si converge uniformemente a en cada
A lo largo de, es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre el campo y es una colección no vacía de -subconjuntos delimitados de
Hausdorffness
Nosotros decimos eso cubre si cada punto en pertenecen a algún conjunto en
Nosotros decimos eso es total en[5] si el tramo lineal de es denso en
Teorema - Seaser un emparejamiento de espacios vectoriales sobre el campo y ser una colección no vacía de -subconjuntos delimitados de Luego,
Si cubre entonces el -topología en es Hausdorff . [3]
Si distingue puntos de y si es un -subconjunto denso de entonces el -topología en es Hausdorff. [2]
Si es un sistema dual (en lugar de simplemente un emparejamiento) entonces el-topología en es Hausdorff si y solo si el lapso de es denso en [3]
Prueba
Prueba de (2): Si entonces hemos terminado, así que asuma lo contrario. Desde el-topología en es una topología TVS, basta para mostrar que el conjunto está cerrado en Dejar ser distinto de cero, deja ser definido por para todos y deja
Desde distingue puntos de existe algo (distinto de cero) tal que donde (desde es sobreyectiva) se puede suponer sin pérdida de generalidad que El conjunto es un -subconjunto abierto de que no está vacío (ya que contiene ). Desde es un -subconjunto denso de existe algo y algo tal que Desde así que eso dónde es una vecindad cerrada subbásica del origen en el -topología en ■
Ejemplos de topologías polares inducidas por un emparejamiento
A lo largo de, será un emparejamiento de espacios vectoriales sobre el campo y será una colección no vacía de -subconjuntos delimitados de
La siguiente tabla omitirá la mención de Las topologías se enumeran en un orden que se corresponde aproximadamente con las topologías más gruesas primero y las topologías más finas al final; tenga en cuenta que algunas de estas topologías pueden estar fuera de servicio, por ejemplo y la topología debajo de él (es decir, la topología generada por -discos completos y acotados) o si no es Hausdorff. Si más de una colección de subconjuntos aparece en la misma fila en la columna más a la izquierda, eso significa que estas colecciones generan la misma topología polar.
Notación : si denota una topología polar en luego dotados con esta topología se denotarán por o simplemente Por ejemplo, si luego así que eso y todo denota con dotado con
("topología de convergencia uniforme en ...")
Notación
Nombre ("topología de ...")
nombre alternativo
subconjuntos finitos de (o -cascos de discos cerrados de subconjuntos finitos de)
puntual / convergencia simple
topología débil / débil *
-compact discos
Topología de Mackey
-subconjuntos convexos compactos
convergencia convexa compacta
-subconjuntos compactos (o equilibrados-subconjuntos compactos)
convergencia compacta
-discos completos y acotados
convergencia acotada completa equilibrada convexa
-precompact / totalmente delimitada subconjuntos (o equilibrada-subconjuntos precompactos)
Para cualquier un basico -barrio de en es un conjunto de la forma:
para algunos reales y un conjunto finito de puntos en [3]
El espacio dual continuo de es donde más precisamente, esto significa que un funcional lineal en pertenece a este espacio dual continuo si y sólo si existe algún tal que para todos [3] La topología débil es la topología de TVS más burda en por lo que esto es cierto.
En general, el casco convexo equilibrado de un-subconjunto compacto de Necesita no ser -compacto. [3]
Si y son espacios vectoriales sobre los números complejos (lo que implica que tiene un valor complejo) entonces dejemos y denotar estos espacios cuando se consideren como espacios vectoriales sobre los números reales Dejar denotar la parte real de y observa que es una pareja. La topología débil en es idéntica a la topología débil En última instancia, esto se debe al hecho de que para cualquier funcional lineal de valor complejo en con parte real luego
para todos
Topología de Mackey τ ( Y , X )
El espacio dual continuo de es (exactamente de la misma manera que se describió para la topología débil). Además, la topología de Mackey es la topología convexa local más fina en para lo cual esto es cierto, que es lo que hace que esta topología sea importante.
Dado que, en general, el casco convexo equilibrado de un-subconjunto compacto de Necesita no ser -compacto, [3] la topología de Mackey puede ser estrictamente más tosca que la topología Dado que cada -el conjunto compacto es limitada, la topología de Mackey es más tosca que la topología fuerte [3]
Topología fuerte 𝛽 ( Y , X )
Una base de vecindario (no solo una subbase ) en el origen de lala topología es: [3]
La topología fuerte es más fina que la topología de Mackey. [3]
Topologías polares y espacios vectoriales topológicos
A lo largo de esta sección, será un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo y será el emparejamiento canónico , donde por definición El espacio vectorial siempre distingue / separa los puntos de pero puede no distinguir los puntos de (esto sucede necesariamente si, por ejemplo, no es Hausdorff), en cuyo caso el emparejamiento no es un par dual. Según el teorema de Hahn-Banach , sies un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces separa puntos de y por lo tanto forma un par dual.
Propiedades
Si cubre luego el mapa canónico de dentro está bien definido. Es decir, para todos la evaluación funcional en significando el mapa es continuo en
Si además separa puntos en luego el mapa canónico de dentro es una inyección.
Suponer que es un lineal continuo y que y son colecciones de subconjuntos acotados de y respectivamente, que cada uno satisface axiomas y Entonces la transposición de es continuo si para cada hay algunos tal que [6]
En particular, la transposición de es continuo si lleva el (respectivamente, ) topología y llevar cualquier topología más fuerte que la topología (respectivamente, ).
Si es un televisor Hausdorff localmente convexo sobre el campo y es una colección de subconjuntos acotados de que satisface axiomas y luego el mapa bilineal definido por es continuo si y solo si es normal y el -topología en es la topología dual fuerte
Suponer que es un espacio de Fréchet y es una colección de subconjuntos acotados de que satisface axiomas y Si contiene todos los subconjuntos compactos de luego Esta completo.
Topologías polares en el espacio dual continuo
A lo largo de, será un televisor sobre el campo con doble espacio continuo y y se asociará con el emparejamiento canónico. La siguiente tabla define muchas de las topologías polares más comunes en
Notación : si denota una topología polar entonces dotados con esta topología se denotarán por (por ejemplo, si luego y así que eso denota con dotado con ). Si además, entonces este TVS se puede denotar por (por ejemplo, ).
("topología de convergencia uniforme en ...")
Notación
Nombre ("topología de ...")
nombre alternativo
subconjuntos finitos de (o -cascos de discos cerrados de subconjuntos finitos de)
puntual / convergencia simple
topología débil / débil *
subconjuntos convexos compactos
convergencia convexa compacta
subconjuntos compactos (o subconjuntos compactos balanceados)
convergencia compacta
-compact discos
Topología de Mackey
subconjuntos precompactos / totalmente delimitados (o subconjuntos precompactos equilibrados)
La razón por la que algunas de las colecciones anteriores (en la misma fila) inducen las mismas topologías polares se debe a algunos resultados básicos. Un subconjunto cerrado de un TVS completo está completo y un subconjunto completo de un Hausdorff y un TVS completo está cerrado. [7] Además, en cada TVS, los subconjuntos compactos están completos [7] y el casco equilibrado de un subconjunto compacto (resp. Totalmente acotado ) es nuevamente compacto (resp. Totalmente acotado). [8] Además, un espacio de Banach puede estar completo sin estar débilmente completo.
Si está limitado entonces está absorbiendo en (tenga en cuenta que ser absorbente es una condición necesaria para ser un vecindario del origen en cualquier topología de TVS en ). [2] Si es un espacio localmente convexo y está absorbiendo en luego está delimitado en Además, un subconjunto está débilmente acotado si y solo si está absorbiendo en Por esta razón, es común restringir la atención a familias de subconjuntos acotados de
Topología débil / débil * σ (X ' , X)
La La topología tiene las siguientes propiedades:
Teorema de Banach-Alaoglu : cada subconjunto equicontinuo dees relativamente compacto para[9]
de ello se deduce que el -cierre del casco convexo equilibrado de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo y -compacto.
Teorema (S. Banach): Suponga que y son espacios de Fréchet o que son duales de espacios de Fréchet reflexivos y que es un mapa lineal continuo. Luego es sobreyectiva si y solo si la transposición de es uno a uno y la imagen de está débilmente cerrado en
Suponer que y son espacios de Fréchet , es un espacio localmente convexo de Hausdorff y que es un mapa bilineal continuo por separado. Luego es continuo.
En particular, cualquier mapa bilineal continuo separado del producto de dos duales de espacios de Fréchet reflexivos en un tercero es continuo.
es normable si y solo si es de dimensión finita.
Cuándo es de dimensión infinita topología en es estrictamente más tosco que la fuerte topología dual
Suponer que es un espacio de Hausdorff localmente convexo y que es su finalización. Si luego es estrictamente más fino que
Cualquier subconjunto equicontinuo en el dual de un espacio vectorial separable localmente convexo de Hausdorff es metrizable en el topología.
Si es localmente convexo entonces un subconjunto es -delimitado si y solo si existe un barril en tal que [3]
Convergencia compacta-convexa γ (X ' , X)
Si es un espacio de Fréchet entonces las topologías
Convergencia compacta c (X ' , X)
Si es un espacio de Fréchet o un espacio LF entonces Esta completo.
Suponer que es un espacio vectorial topológico metrizable y que Si la intersección de con cada subconjunto equicontinuo de está débilmente abierto, entonces está abierto en
Convergencia precompacta
Teorema de Banach-Alaoglu : un subconjunto equicontinuotiene cierre compacto en la topología de convergencia uniforme en conjuntos precompactos. Además, esta topología en coincide con el topología.
Topología de Mackey τ ( X ' , X )
Dejando ser el conjunto de todos los subconjuntos convexos balanceados débilmente compactos de tendrá la topología Mackey eno la topología de convergencia uniforme en conjuntos débilmente compactos balanceados convexos , que se denota por y con esta topología se denota por
Fuerte topología dual b (X ' , X)
Debido a la importancia de esta topología, el espacio dual continuo de se denota comúnmente simplemente por Como consecuencia,
La La topología tiene las siguientes propiedades:
Si es localmente convexa, entonces esta topología es más fina que todas las demás -topologías en al considerar solo cuyos conjuntos son subconjuntos de
Si es un espacio bornológico (por ejemplo, metrizable o LF-space ) entoncesEsta completo.
Si es un espacio normado, entonces la fuerte topología dual en puede ser definido por la norma dónde [10]
Si es un espacio LF que es el límite inductivo de la secuencia del espacio (por ) luego es un espacio de Fréchet si y solo si todos son normativas.
Si es un espacio de Montel entonces
tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, cada subconjunto cerrado y acotado de es compacto en )
En subconjuntos acotados de las topologías fuerte y débil coinciden (y por lo tanto también lo hacen todas las demás topologías más finas que y más tosco que ).
Cada secuencia débilmente convergente en es fuertemente convergente.
Topología de Mackey τ ( X , X ' ' )
Dejando ser el conjunto de todos los subconjuntos convexos balanceados débilmente compactos de tendrá la topología Mackey en Inducido por o la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos balanceados débilmente compactos de, que se denota por y con esta topología se denota por
Esta topología es más fina que y por lo tanto más fino que
Topologías polares inducidas por subconjuntos del espacio dual continuo
A lo largo de, será un televisor sobre el campo con doble espacio continuo y el emparejamiento canónico se asociará con y La siguiente tabla define muchas de las topologías polares más comunes en
Notación : si denota una topología polar en luego dotados con esta topología se denotarán por o (por ejemplo, para tendríamos así que eso y ambos denotan con dotado con ).
("topología de convergencia uniforme en ...")
Notación
Nombre ("topología de ...")
nombre alternativo
subconjuntos finitos de (o -cascos de discos cerrados de subconjuntos finitos de)
puntual / convergencia simple
topología débil
subconjuntos equicontinuos (o discos equicontinuos) (o discos equicontinuos compactos débiles *)
convergencia equicontinua
discos compactos débiles *
Topología de Mackey
subconjuntos convexos compactos débiles *
convergencia convexa compacta
subconjuntos compactos débiles * (o subconjuntos compactos débiles * equilibrados)
convergencia compacta
subconjuntos delimitados débiles *
convergencia acotada
topología fuerte
El cierre de un subconjunto equicontinuo de es débil * compacto y equicontinuo y, además, el casco convexo equilibrado de un subconjunto equicontinuo es equicontinuo.
Topología débil 𝜎 (X ' )
Suponer que y son espacios localmente convexos de Hausdorff con metrizable y que es un mapa lineal. Luego es continuo si y solo si es continuo. Es decir, es continuo cuando y llevar sus topologías dadas si y solo si es continuo cuando y llevan sus topologías débiles.
Convergencia en conjuntos equicontinuos 𝜀 ( X , X ' )
Si era el conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos convexos balanceados débilmente compactos de entonces se habría inducido la misma topología.
Si es localmente convexa y Hausdorff entonces topología dada (es decir, la topología que comenzó con) es exactamente Es decir, para Hausdorff y localmente convexo, si luego es equicontinuo si y solo si es equicontinuo y, además, para cualquier es una vecindad del origen si y solo si es equicontinuo.
Es importante destacar que un conjunto de funcionales lineales continuos en un televisor es equicontinuo si y solo si está contenido en el polar de alguna vecindad del origen en (es decir ). Dado que la topología de un TVS está completamente determinada por las vecindades abiertas del origen, esto significa que a través de la operación de tomar el polar de un conjunto, la colección de subconjuntos equicontinuos de "codificar" toda la información sobre topología (es decir, distintas topologías de TVS en producir colecciones distintas de subconjuntos equicontinuos y, dada dicha colección, se puede recuperar la topología original de TVS tomando los polares de los conjuntos de la colección). Así, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente "convergencia en la topología de".
Topología de Mackey τ ( X , X ' )
Suponer que es un espacio de Hausdorff localmente convexo. Sies metrizable o cañón entoncesLa topología original es idéntica a la topología de Mackey. [11]
Topologías compatibles con emparejamientos
Dejar ser un espacio vectorial y dejar ser un subespacio vectorial del dual algebraico de que separa puntos en Si ¿Es cualquier otra topología del espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexa en luego es compatible con la dualidad entre y si cuando está equipado con entonces tiene como su espacio dual continuo. Si se le da la topología débil luego es un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) de Hausdorff y es compatible con la dualidad entre y (es decir ). Surge la pregunta: ¿cuáles son todas las topologías de TVS de Hausdorff localmente convexas que se pueden colocar en que sean compatibles con la dualidad entre y ? La respuesta a esta pregunta se llama teorema de Mackey-Arens .
Ver también
Topología dual
Lista de topologías
Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
Conjunto polar : subconjunto de todos los puntos que está delimitado por algún punto dado de un dual (en un emparejamiento dual)
Topologías en espacios de mapas lineales
Topología consistente con la dualidad
Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Referencias
^ Trèves , 2006 , p. 195.
↑ a b c Trèves , 2006 , págs. 195-201.
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
↑ Robertson y Robertson 1964 , III.2
^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 80.
^ Trèves , 2006 , págs. 199-200.
↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 47-66.
^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 67-113.
^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 85.
^ Trèves , 2006 , p. 198.
^ Trèves , 2006 , págs. 433.
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Robertson, AP; Robertson, W. (1964). Espacios vectoriales topológicos . Prensa de la Universidad de Cambridge.
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .