En la teoría matemática de matrices aleatorias , la distribución de Marchenko-Pastur , o ley de Marchenko-Pastur , describe el comportamiento asintótico de valores singulares de grandes matrices aleatorias rectangulares . El teorema lleva el nombre de los matemáticos ucranianos Vladimir Marchenko y Leonid Pastur, quienes demostraron este resultado en 1967.
Si denota un matriz aleatoria cuyas entradas son variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica con media 0 y varianza , dejar
y deja ser los valores propios de(visto como variables aleatorias ). Finalmente, considere la medida aleatoria
Teorema . Asumir que para que la proporción . Luego(en topología débil * en distribución ), donde
y
con
La ley de Marchenko-Pastur también surge como la ley de Poisson libre en la teoría de la probabilidad libre, con tasa y tamaño del salto .
Función de distribución acumulativa
Usando la misma notación, la función de distribución acumulativa lee
dónde y .
Algunas transformaciones de esta ley
La transformada de Cauchy (que es el negativo de la transformación de Stieltjes ), cuando, es dado por
Esto da una -transforma de:
Aplicación a matrices de correlación
Cuando se aplica a matrices de correlación y que lleva a los límites
Por tanto, a menudo se supone que los valores propios de las matrices de correlación inferiores a son por casualidad, y los valores superiores a son los factores comunes importantes. Por ejemplo, obtener una matriz de correlación de una serie de un año (es decir, 252 días de negociación) de 10 rendimientos de acciones, arrojaría. De los 10 valores propios de la matriz de correlación, solo los valores superiores a 1,43 se considerarían significativos.
Ver también
Referencias
- Götze, F .; Tikhomirov, A. (2004). "Tasa de convergencia en probabilidad a la ley de Marchenko-Pastur" . Bernoulli . 10 (3): 503–548. doi : 10.3150 / bj / 1089206408 .
- Marchenko, VA; Pastur, LA (1967). "Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц" [Distribución de valores propios para algunos conjuntos de matrices aleatorias]. Estera. Sb. NS (en ruso). 72 (114: 4): 507–536. doi : 10.1070 / SM1967v001n04ABEH001994 . Enlace al pdf de acceso gratuito de la versión rusa
- Nica, A .; Speicher, R. (2006). Conferencias sobre la teoría combinatoria de la probabilidad libre . Cambridge Univ. Prensa. págs. 204 , 368. ISBN 0-521-85852-6. Enlace para descarga gratuita Otro sitio de acceso gratuito
- Zhang, W .; Abreu, G .; Inamori, M .; Sanada, Y. (2011). "Algoritmos de detección de espectro a través de matrices aleatorias finitas". Transacciones IEEE sobre comunicaciones . 60 (1): 164-175. doi : 10.1109 / TCOMM.2011.112311.100721 .
- Epps, Brenden; Krivitzky, Eric M. (2019). "Descomposición de valores singulares de datos ruidosos: corrupción de modo". Experimentos en fluidos . 60 (8): 1–30. doi : 10.1007 / s00348-019-2761-y .