En matemáticas , la transformación de Stieltjes S ρ ( z ) de una medida de densidad ρ en un intervalo real I es la función de la variable compleja z definida fuera de I por la fórmula
En determinadas condiciones podemos reconstituir la función de densidad ρ a partir de su transformación de Stieltjes gracias a la fórmula inversa de Stieltjes-Perron. Por ejemplo, si la densidad ρ es continua a lo largo de I , se tendrá dentro de este intervalo
Conexiones con momentos de medidas
Si la medida de densidad ρ tiene momentos de cualquier orden definido para cada entero por la igualdad
entonces la transformación de Stieltjes de ρ admite para cada entero n la expansión asintótica en la vecindad del infinito dada por
Bajo ciertas condiciones se puede obtener la expansión completa como serie Laurent :
Relaciones con polinomios ortogonales
La correspondencia define un producto escalar en el espacio de las funciones continuas en el intervalo I .
Si { P n } es una secuencia de polinomios ortogonales para este producto, podemos crear la secuencia de polinomios secundarios asociados mediante la fórmula
Parece que es una aproximación de Padé de S ρ ( z ) en una vecindad de infinito, en el sentido de que
Dado que estas dos secuencias de polinomios satisfacen la misma relación de recurrencia en tres términos, podemos desarrollar una fracción continua para la transformación de Stieltjes cuyos sucesivos convergentes son las fracciones F n ( z ).
La transformación de Stieltjes también se puede utilizar para construir a partir de la densidad ρ una medida eficaz para transformar los polinomios secundarios en un sistema ortogonal. (Para obtener más detalles, consulte el artículo medida secundaria ).
Ver también
Referencias
- HS Wall (1948). Teoría analítica de fracciones continuas . D. Van Nostrand Company Inc.