En matemáticas , el teorema de la docilidad establece que toda 3-variedad hiperbólica completa con un grupo fundamental generado finitamente es topológicamente dócil , en otras palabras, homeomorfa al interior de una 3-variedad compacta .
El teorema de la mansedumbre fue conjeturado por Marden (1974) . Lo probaron Agol (2004) e, independientemente, Danny Calegari y David Gabai . Es una de las propiedades fundamentales de las 3-variedades hiperbólicas geométricamente infinitas, junto con el teorema de densidad para grupos kleinianos y el teorema de laminación final . También implica la conjetura de la medida de Ahlfors .
La mansedumbre topológica puede verse como una propiedad de los extremos de la variedad, es decir, tener una estructura de producto local. Un enunciado análogo es bien conocido en dos dimensiones, es decir, para superficies . Sin embargo, como muestra el ejemplo de la esfera con cuernos de Alexander , hay incrustaciones salvajes entre las 3 variedades, por lo que esta propiedad no es automática.
La conjetura fue planteada en forma de pregunta por Albert Marden , quien demostró que cualquier 3-variedad hiperbólica geométricamente finita es topológicamente dócil. La conjetura también se llamó la conjetura de Marden o la conjetura de los extremos domesticados .
Había habido un progreso constante en la comprensión de la mansedumbre antes de que se resolviera la conjetura. Thurston , Brock, Bromberg, Canary, Evans, Minsky, Ohshika habían obtenido resultados parciales . [ cita requerida ] Bonahon había obtenido una importante condición suficiente para la mansedumbre en términos de escisión del grupo fundamental . [ cita requerida ]
La conjetura fue probada en 2004 por Ian Agol , y de forma independiente, por Danny Calegari y David Gabai. La demostración de Agol se basa en el uso de variedades de curvatura negativa pellizcada y en el truco de Canary de "diskbusting" que permite reemplazar un extremo compresible por un extremo incompresible, cuya conjetura ya ha sido probada. La demostración de Calegari-Gabai se centra en la existencia de ciertas superficies cerradas, no curvadas positivamente, que denominan "retractiladas".