En topología , una rama de las matemáticas , los extremos de un espacio topológico son, en términos generales, los componentes conectados del "límite ideal" del espacio. Es decir, cada extremo representa una forma topológicamente distinta de moverse al infinito dentro del espacio. Agregar un punto en cada extremo produce una compactación del espacio original, conocida como compactación final .
Hans Freudenthal ( 1931 ) introdujo la noción de fin de un espacio topológico .
Definición
Sea X un espacio topológico , y suponga que
es una secuencia ascendente de subconjuntos compactos de X cuyos interiores cubrir X . Entonces X tiene un final para cada secuencia
donde cada U n es un componente conectado de X \ K n . El número de extremos no depende de la secuencia específica { K i } de conjuntos compactos; hay una biyección natural entre los conjuntos de extremos asociados con dos de tales secuencias.
Usando esta definición, una vecindad de un extremo { U i } es un conjunto abierto V tal que V ⊃ U n para algún n . Tales vecindades representan las vecindades del punto correspondiente en el infinito en la compactación final (esta "compactación" no siempre es compacta; el espacio topológico X tiene que estar conectado y conectado localmente).
La definición de extremos dada anteriormente se aplica solo a los espacios X que poseen un agotamiento por conjuntos compactos (es decir, X debe ser hemicompacto ). Sin embargo, se puede generalizar de la siguiente manera: sea X cualquier espacio topológico y considere el sistema directo { K } de subconjuntos compactos de X y mapas de inclusión . Existe un sistema inverso correspondiente { π 0 ( X \ K )}, donde π 0 ( Y ) denota el conjunto de componentes conectados de un espacio Y , y cada mapa de inclusión Y → Z induce una función π 0 ( Y ) → π 0 ( Z ). Entonces, el conjunto de extremos de X se define como el límite inverso de este sistema inverso.
Bajo esta definición, el conjunto de extremos es un funtor desde la categoría de espacios topológicos , donde los morfismos son solo mapas continuos propios , hasta la categoría de conjuntos . Explícitamente, si φ: X → Y es un mapa adecuado y x = ( x K ) K es un final de X (es decir, cada elemento x K en la familia es un componente conectado de X ∖ K y son compatibles con mapas inducidos por inclusiones) entonces φ (x) es la familia dónde rangos sobre subconjuntos compactos de Y y φ * es el mapa inducido por φ de a . Probidad de φ se utiliza para asegurar que cada φ -1 ( K ) es compacto en X .
La definición original anterior representa el caso especial en el que el sistema directo de subconjuntos compactos tiene una secuencia cofinal .
Ejemplos de
- El conjunto de extremos de cualquier espacio compacto es el conjunto vacío .
- La linea real tiene dos extremos. Por ejemplo, si dejamos que K n sea el intervalo cerrado [- n , n ], entonces los dos extremos son las secuencias de conjuntos abiertos U n = ( n , ∞) y V n = (−∞, - n ). Estos extremos suelen denominarse "infinito" y "menos infinito", respectivamente.
- Si n > 1, entonces espacio euclidianotiene un solo fin. Esto es porquesólo tiene un componente no acotada para cualquier conjunto compacto K .
- Más en general, si M es un compacto variedad con borde , entonces el número de extremos del interior de M es igual al número de componentes conectados de la frontera de M .
- La unión de n rayos distintos que emanan del origen entiene n extremos.
- El árbol binario completo infinito tiene innumerables extremos, correspondientes a los innumerables caminos descendentes diferentes que comienzan en la raíz. (Esto se puede ver dejando que K n sea el árbol binario completo de profundidad n .) Estos extremos pueden considerarse como las "hojas" del árbol infinito. En la compactación final, el conjunto de extremos tiene la topología de un conjunto de Cantor .
Extremos de gráficos y grupos
En la teoría de grafos infinitos , un final se define de manera ligeramente diferente, como una clase de equivalencia de caminos semi-infinitos en el grafo, o como un refugio , una función que mapea conjuntos finitos de vértices a componentes conectados de sus complementos. Sin embargo, para grafos localmente finitos (grafos en los que cada vértice tiene un grado finito ), los extremos definidos de esta manera corresponden uno a uno con los extremos de los espacios topológicos definidos a partir del grafo ( Diestel & Kühn 2003 ).
Los extremos de un grupo generado de forma finita se definen como los extremos del gráfico de Cayley correspondiente ; esta definición es insensible a la elección del grupo electrógeno. Cada grupo infinito generado de forma finita tiene 1, 2 o infinitos extremos, y el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos proporciona una descomposición para los grupos con más de un extremo.
Extremos de un complejo CW
Para un complejo CW conectado a una ruta , los extremos se pueden caracterizar como clases de homotopía de mapas adecuados , llamados rayos en X : más precisamente, si entre la restricción -to el subconjunto- de cualesquiera dos de estos mapas existe una homotopía propia, decimos que son equivalentes y definen una clase de equivalencia de rayos propios. Este conjunto se llama un fin de X .
Referencias
- Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), "Grafos teóricos versus extremos topológicos de gráficos", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 87 (1): 197–206, doi : 10.1016 / S0095-8956 (02) 00034-5 , MR 1967888.
- Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 33 : 692–713, doi : 10.1007 / BF01174375 , ISSN 0025-5874 , Zbl 0002.05603
- Ross Geoghegan, Métodos topológicos en teoría de grupos , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
- Scott, Peter; Wall, Terry; Wall, CTC (1979). "Métodos topológicos en teoría de grupos". Teoría de grupos homológicos . págs. 137-204. doi : 10.1017 / CBO9781107325449.007 . ISBN 9781107325449.