En geometría diferencial, un subcampo de las matemáticas , el lema de Margulis (llamado así por Grigory Margulis ) es el resultado de subgrupos discretos de isometrías de variedades de Riemann de una curva no positiva (por ejemplo, el espacio n hiperbólico ). A grandes rasgos, establece que dentro de un radio fijo, generalmente llamado constante de Margulis , la estructura de las órbitas de dicho grupo no puede ser demasiado complicada. Más precisamente, dentro de este radio alrededor de un punto, todos los puntos en su órbita están de hecho en la órbita de un subgrupo nilpotente (de hecho, un número finito acotado de tales).
El lema de Margulis para variedades de curvatura no positiva
Declaración formal
El lema de Margulis se puede formular de la siguiente manera. [1]
Dejar ser un colector simplemente conectado de curvatura seccional acotada no positiva . Existen constantescon la siguiente propiedad. Para cualquier subgrupo discreto del grupo de isometrías de y cualquier , Si es el conjunto:
luego el subgrupo generado por contiene un subgrupo nilpotente de índice menor que . Aquíes la distancia inducida por la métrica de Riemann.
Se puede dar una declaración inmediatamente equivalente de la siguiente manera: para cualquier subconjunto del grupo de isometría, si satisface que:
- existe un tal que ;
- el grupo generado por es discreto
luego contiene un subgrupo nilpotente de índice .
Constantes de Margulis
La constante óptima en la declaración se puede hacer que dependa solo de la dimensión y el límite inferior de la curvatura; normalmente se normaliza de modo que la curvatura esté entre -1 y 0. Suele denominarse constante de Margulis de la dimensión.
También se pueden considerar las constantes de margulis para espacios específicos. Por ejemplo, se ha realizado un esfuerzo importante para determinar la constante de Margulis de los espacios hiperbólicos (de curvatura constante -1). Por ejemplo:
- la constante óptima para el plano hiperbólico es igual a; [2]
- En general, la constante de Margulis para el hiperbólico -espacio conocido por satisfacer los límites:
- para algunos . [3]
Barrios de Zassenhaus
Los espacios simétricos asociados a los grupos de Lie semisimplejos dan una familia de ejemplos particularmente estudiada de variedades curvadas negativamente . En este caso, al lema de Margulis se le puede dar la siguiente formulación más algebraica que se remonta a Hans Zassenhaus . [4]
- Si es un grupo de mentira semisimple existe un barrio de la identidad en y un tal que cualquier subgrupo discreto que es generado por contiene un subgrupo nilpotente de índice .
Un barrio así se llama barrio Zassenhaus .
Descomposición espesa-delgada
Dejar ser una variedad riemanniana y . La parte delgada de es el subconjunto de puntos donde el radio de inyectividad de a es menos que , generalmente denotado , y la parte gruesa su complemento, generalmente denotado. Hay una descomposición tautológica en una unión desarticulada..
Cuándo es de curvatura negativa y es menor que la constante de Margulis para la estructura de los componentes de la parte delgada es muy simple. Limitémonos al caso de variedades hiperbólicas de volumen finito. Suponer que es menor que la constante de Margulis para y deja ser un hiperbólico-Múltiple de volumen finito. Entonces su parte delgada tiene dos tipos de componentes: [5]
- Cúspides : estos son los componentes ilimitados, son difeomorfos a un plano-Múltiple veces una línea;
- Tubos de Margulis: estos son vecindarios de geodésicas cerradas de longitud en . Están delimitados y difeomorfos a un círculo multiplicado por un-desct.
En particular, una variedad hiperbólica completa de volumen finito es siempre difeomórfica del interior de una variedad compacta (posiblemente con un límite vacío).
Otras aplicaciones
El lema de Margulis es una herramienta importante en el estudio de variedades de curvatura negativa. Además de la descomposición espesa-delgada, algunas otras aplicaciones son:
- El lema del collar : esta es una versión más precisa de la descripción de los componentes compactos de las partes delgadas. Afirma que cualquier geodésica cerrada de longitud sobre una superficie hiperbólica está contenido en un cilindro empotrado de diámetro de orden .
- El lema de Margulis da una solución cualitativa inmediata al problema del covolumen mínimo entre las variedades hiperbólicas: dado que el volumen de un tubo de Margulis puede verse limitado por debajo por una constante que depende sólo de la dimensión, se deduce que existe un mínimo positivo para los volúmenes de n- colectores hiperbólicos para cualquier n . [6]
- La existencia de barrios de Zassenhaus es un ingrediente clave en la demostración del teorema de Kazhdan-Margulis .
- Se puede recuperar el teorema de Jordan-Schur como corolario de la existencia de barrios de Zassenhaus.
Notas
- ^ Ballmann, Gromov y Schroeder , Teorema 9.5.
- ^ Yamada, A. (1981). "Sobre la constante universal de Marden de los grupos fucsianos". Kodai Math. J . 4 (2): 266–277. doi : 10.2996 / kmj / 1138036373 .
- ^ Belolipetsky, Mikhail (2014). "Órbifolds hiperbólicos de pequeño volumen". Actas de ICM 2014 . Kyung Moon SA. arXiv : 1402.5394 .
- ^ Raghunatan, 1972 y definición 8.22 .
- ^ Thurston 1998 , Capítulo 4.5.
- ^ Ratcliffe , 2006 , p. 666.
Referencias
- Ballmann, Werner; Gromov, Mikhail; Schroeder, Viktor (1985). Colectores de curvatura no positiva . Birkhâuser.
- Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . Señor 0507234 .
- Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, segunda edición . Saltador. págs. xii + 779. ISBN 978-0387-33197-3.
- Thurston, William (1997). Geometría y topología tridimensionales. Vol. 1 . Prensa de la Universidad de Princeton.