Se dice que ocurre una coincidencia matemática cuando dos expresiones sin relación directa muestran una casi igualdad que no tiene una explicación teórica aparente.
Por ejemplo, hay una casi igualdad cercana al número redondo 1000 entre potencias de 2 y potencias de 10:
Algunas coincidencias matemáticas se utilizan en ingeniería cuando una expresión se toma como una aproximación de otra.
Introducción
Una coincidencia matemática a menudo implica un número entero , y la característica sorprendente es el hecho de que un número real que surge en algún contexto es considerado por algún estándar como una aproximación "cercana" a un número entero pequeño o a un múltiplo o potencia de diez, o más generalmente , a un número racional con un denominador pequeño . También se pueden considerar otros tipos de coincidencias matemáticas, como los números enteros que satisfacen simultáneamente múltiples criterios aparentemente no relacionados o coincidencias con respecto a las unidades de medida. En la clase de esas coincidencias que son de tipo puramente matemático, algunas simplemente son el resultado de hechos matemáticos a veces muy profundos, mientras que otras parecen surgir "de la nada".
Dado el número infinito contable de formas de formar expresiones matemáticas utilizando un número finito de símbolos, el número de símbolos utilizados y la precisión de la igualdad aproximada podrían ser la forma más obvia de evaluar las coincidencias matemáticas; pero no existe un estándar, y la ley fuerte de los números pequeños es el tipo de cosa a la que uno tiene que apelar sin una guía matemática formal opuesta. [ cita requerida ] Más allá de esto, se podría invocar algún sentido de la estética matemática para adjudicar el valor de una coincidencia matemática, y de hecho hay casos excepcionales de verdadera importancia matemática (ver la constante de Ramanujan a continuación, que se publicó hace algunos años como una broma científica de April Fools [1] ). Sin embargo, en general, deben considerarse por su valor de curiosidad o, quizás, para alentar a los nuevos estudiantes de matemáticas a un nivel elemental.
Algunos ejemplos
Aproximaciones racionales
A veces, las aproximaciones racionales simples están excepcionalmente cerca de valores irracionales interesantes. Estos se pueden explicar en términos de términos grandes en la representación fraccionaria continua del valor irracional, pero a menudo no se dispone de más información sobre por qué ocurren términos tan improbablemente grandes.
A menudo también se invocan aproximaciones racionales (convergentes de fracciones continuas) a proporciones de registros de diferentes números, haciendo coincidencias entre las potencias de esos números. [2]
Muchas otras coincidencias son combinaciones de números que las ponen en la forma en que tales aproximaciones racionales proporcionan relaciones cercanas.
Con respecto a π
- El segundo convergente de π, [3; 7] = 22/7 = 3.1428 ..., era conocido por Arquímedes , [3] y es correcto hasta alrededor de 0.04%. El cuarto convergente de π, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929 ..., encontrado por Zu Chongzhi , [4] es correcto hasta seis decimales; [3] esta alta precisión se debe a que π tiene un siguiente término inusualmente grande en su representación de fracción continua: π = [3; 7, 15, 1, 292, ...]. [5]
- Una coincidencia que involucra a π y la proporción áurea φ viene dada por. Esto está relacionado con los triángulos de Kepler . Algunos creen que una u otra de estas coincidencias se encuentra en la Gran Pirámide de Giza , pero es muy improbable que haya sido intencional. [6]
- Hay una secuencia de seis nueves en pi que comienza en el lugar decimal 762 de la representación decimal de pi. Para un número normal elegido al azar , la probabilidad de que cualquier secuencia numérica elegida de seis dígitos (incluido el 6 de un número, 658 020 o similar) ocurra tan temprano en la representación decimal es solo del 0.08%. Se conjetura, pero no se sabe, que Pi es un número normal.
- La primera constante de Feigenbaum es aproximadamente igual a 10 (1/π - 1) , con un error del 0,0015%.
Sobre la base 2
- La coincidencia , correcto al 2,4%, se relaciona con la aproximación racional , o dentro del 0.3%. Esta relación se usa en ingeniería, por ejemplo, para aproximar un factor de dos en potencia como 3 dB (el real es 3.0103 dB - ver Punto de media potencia ), o para relacionar un kibibyte con un kilobyte ; ver prefijo binario . [7] [8]
- Esta coincidencia también se puede expresar como (eliminando el factor común de , por lo que también es correcto al 2,4%), que corresponde a la aproximación racional , o (también dentro del 0,3%). Esto se invoca, por ejemplo, en los ajustes de velocidad de obturación de las cámaras, como aproximaciones a potencias de dos (128, 256, 512) en la secuencia de velocidades 125, 250, 500, etc., [2] y en el Who Wants to Be a ¿Millonario? programa de juegos en los valores de la pregunta ... £ 16,000, £ 32,000, £ 64,000, £ 125,000 , £ 250,000, ...
Sobre los intervalos musicales
- La coincidencia , de conduce a la observación comúnmente utilizada en la música para relacionar la afinación de 7 semitonos de temperamento igual con una quinta perfecta de entonación justa :, correcto a aproximadamente 0,1%. El quinto es la base de la afinación pitagórica y de los sistemas musicales más conocidos. De la consecuente aproximaciónse sigue que el círculo de quintas termina siete octavas más alto que el origen. [2]
- La coincidencia es el famoso coincidencia conduce históricamente al desarrollo de temperamento mesotónico , en la que el quintas perfectas y el los tercios principales se "templan" ligeramente de modo que cuatro es aproximadamente igual a o un un tercio mayor hasta dos octavas. Esta coincidencia también se puede escribir, o , dónde es la famosa coma sintónica , que se "atenúa" en esta afinación.
- La coincidencia conduce a la versión racional de 12-TET , como señaló Johann Kirnberger . [ cita requerida ]
- La coincidencia conduce a la versión racional del temperamento de un cuarto de coma . [ cita requerida ]
- La coincidencia conduce al muy pequeño intervalo de (alrededor de un milicent de ancho), que es el primer intervalo de 7 límites templado en 103169-TET . [ aclaración necesaria ] [ cita necesaria ]
- La coincidencia de potencias de 2, arriba, conduce a la aproximación de que tres tercios mayores se concatenan en una octava, . Esta y otras aproximaciones similares en la música se denominan dieses .
Expresiones numéricas
Respecto a las potencias de π
- correcto a alrededor del 1,3%. [9] Esto se puede entender en términos de la fórmula de la función zeta [10] Esta coincidencia se utilizó en el diseño de reglas de cálculo , donde las escalas "dobladas" se doblan en en vez de porque es un número más útil y tiene el efecto de doblar las escalas aproximadamente en el mismo lugar. [ cita requerida ]
- correcto al 0,0004%. [9]
- correcto al 0,02%. [11]
- o con una precisión de 8 decimales (debido a Ramanujan : Quarterly Journal of Mathematics , XLV, 1914, págs. 350–372). [12] Ramanujan afirma que esta "curiosa aproximación" a fue "obtenido empíricamente" y no tiene conexión con la teoría desarrollada en el resto del artículo.
- Algunas relaciones plausibles se mantienen con un alto grado de precisión, pero sin embargo son coincidentes. Un ejemplo es
- Los dos lados de esta expresión solo difieren después del 42º decimal. [13]
Que contiene tanto π como e
- , dentro del 0,000 005% [12]
- , dentro de 0,000 000 03% [14]
- , dentro de 0,000 06% [15]
- , aproximadamente 0,000 538% de error (Joseph Clarke, 2015)
- , dentro del 0,005% (Conway, Sloane, Plouffe, 1988); esto es equivalente a[12]
- , dentro del 0,002% [12]
- . De hecho, esto se generaliza a la identidad aproximada:que puede explicarse por la identidad funcional theta jacobiana . [16] [17] [18]
- Constante de Ramanujan :, dentro , descubierto en 1859 por Charles Hermite . [19] Esta aproximación muy cercana no es un tipo típico de coincidencia matemática accidental , donde no se conoce ni se espera que exista una explicación matemática (como es el caso de la mayoría de los demás aquí). Es una consecuencia del hecho de que 163 es un número de Heegner .
- Hay varios números enteros k como 2198, 422151, 614552, 2508952, 6635624, 199148648, ... ( OEIS : A019297 ) tales quepara algún número entero n , o equivalentementepor el mismo n . Por ejemplo,a 14 o 15 decimales. Estos no son estrictamente una coincidencia, porque todos están relacionados tanto con la constante de Ramanujan como con los números de Heegner .
Otras curiosidades numéricas
- . [20]
- y son las únicas potencias consecutivas no triviales (es decir, al menos cuadradas) de enteros positivos ( conjetura de Catalán ).
- es la única solución entera positiva de , asumiendo que [21] (consulte la función W de Lambert para conocer un método de solución formal)
- El número de Fibonacci F 296182 es (probablemente) un semiprimo , ya que F 296182 = F 148091 × L 148091 donde F 148091 (30949 dígitos) y el número de Lucas L 148091 (30950 dígitos) son simultáneamente números primos probables . [22]
- En una discusión sobre el problema del cumpleaños , el número ocurre, que es "divertidamente" igual a a 4 dígitos. [23]
- , el producto de tres primos de Mersenne . [24]
- , que está cerca de . También,, que está aún más cerca de .
- , que está muy cerca de . Por eso si multiplicas por repetidamente, eventualmente llegas a .
- , que está muy cerca de .
Coincidencias decimales
- , lo que hace que 3435 sea el único número de Münchhausen no trivial en base 10 (excluyendo 0 y 1). Si se adopta la convención queSin embargo, 438579088 es otro número de Münchhausen. [25]
- y son los únicos factores no triviales en base 10 (excluyendo 1 y 2). [26]
- , , , y . Si se multiplica el resultado final de estas cuatro cancelaciones anómalas [27] , su producto se reduce exactamente a 1/100.
- , , y . [28] (En una línea similar,.) [29]
- , lo que hace que 127 sea el número de Friedman más pequeño y agradable . Un ejemplo similar es. [30]
- , , , y son todos números narcisistas . [31]
- , [32] un número primo. La fracción 1/17 también produce 0,05882353 cuando se redondea a 8 dígitos.
- . El número más grande con este patrón es. [33]
- (dónde es la proporción áurea ), y (dónde es la función totient de Euler ). [34]
Coincidencias numéricas en números del mundo físico
Velocidad de la luz
La velocidad de la luz es (por definición) exactamente 299,792,458 m / s, extremadamente cercana a 3.0 × 10 8 m / s (300,000,000 m / s). Esta es una pura coincidencia, ya que el metro se definió originalmente como 1 / 10,000,000 de la distancia entre el polo de la Tierra y el ecuador a lo largo de la superficie al nivel del mar, y la circunferencia de la Tierra es aproximadamente 2/15 de un segundo luz. [35] También es aproximadamente igual a un pie por nanosegundo (el número real es 0.9836 pies / ns).
Diámetros angulares del Sol y la Luna
Visto desde la Tierra, el diámetro angular del Sol varía entre 31′27 ″ y 32′32 ″, mientras que el de la Luna está entre 29′20 ″ y 34′6 ″. El hecho de que los intervalos se superpongan (el primer intervalo está contenido en el segundo) es una coincidencia y tiene implicaciones para los tipos de eclipses solares que se pueden observar desde la Tierra.
Aceleración gravitacional
Si bien no es constante, pero varía según la latitud y la altitud , el valor numérico de la aceleración causada por la gravedad de la Tierra en la superficie se encuentra entre 9,74 y 9,87, que es bastante cercano a 10. Esto significa que, como resultado de la segunda ley de Newton , el peso de un kilogramo de masa en la superficie de la Tierra corresponde aproximadamente a 10 newtons de fuerza ejercida sobre un objeto. [36]
Esto está relacionado con la coincidencia antes mencionada de que el cuadrado de pi es cercano a 10. Una de las primeras definiciones del metro fue la longitud de un péndulo cuya media oscilación tenía un período igual a un segundo. Dado que el período de oscilación total de un péndulo se aproxima mediante la siguiente ecuación, el álgebra muestra que si se mantuviera esta definición, la aceleración gravitacional medida en metros por segundo por segundo sería exactamente igual a. [37]
Cuando se descubrió que la circunferencia de la tierra estaba muy cerca de 40.000.000 de veces este valor, el metro se redefinió para reflejar esto, ya que era un estándar más objetivo (porque la aceleración gravitacional varía sobre la superficie de la Tierra). Esto tuvo el efecto de aumentar la longitud del medidor en menos del 1%, lo cual estaba dentro del error experimental del tiempo. [ cita requerida ]
Otra coincidencia relacionada con la aceleración gravitacional g es que su valor de aproximadamente 9,8 m / s 2 es igual a 1,03 año luz / año 2 , cuyo valor numérico es cercano a 1. Esto se relaciona con el hecho de que g está cerca de 10 en unidades SI (m / s 2 ), como se mencionó anteriormente, combinado con el hecho de que el número de segundos por año resulta ser cercano al valor numérico de c / 10, con c la velocidad de la luz en m / s. De hecho, no tiene nada que ver con SI ya que c / g = 354 días, casi, y 365/354 = 1.03.
Constante de Rydberg
La constante de Rydberg , cuando se multiplica por la velocidad de la luz y se expresa como frecuencia, es cercana a: [35]
- [38]
Estados Unidos acostumbra a las conversiones métricas
Como descubrió Randall Munroe , una milla cúbica está cerca dekilómetros cúbicos (dentro del 0,5%). Esto significa que una esfera con un radio de n kilómetros tiene casi exactamente el mismo volumen que un cubo con lados de n millas. [39] [40]
La proporción de una milla a un kilómetro es aproximadamente la proporción áurea . Como consecuencia, un número de millas de Fibonacci es aproximadamente el siguiente número de kilómetros de Fibonacci.
Si bien no es estrictamente una coincidencia de conversión métrica, la relación de aspecto del papel de carta de EE. UU. Es cercana a (dentro del 2%) mientras que la proporción de A4 es [41]
Una densidad de una onza por pie cúbico es muy cercana a un kilogramo por metro cúbico: 1 oz / ft³ = 1 oz * 0.028349523125 kg / oz / (1 ft * 0.3048 m / ft) ³ ≈ 1.0012 kg / m³.
Constante de estructura fina
La constante de estructura fina está cerca de, y una vez se conjeturó que era exactamente igual a, . [42]
Aunque esta coincidencia no es tan fuerte como algunas de las otras en esta sección, es notable que es una constante física adimensional , por lo que esta coincidencia no es un artefacto del sistema de unidades que se utiliza.
Planeta Tierra
El radio de la órbita geoestacionaria , 42,164 kilómetros (26,199 millas) está dentro del 0.02% de la variación de la distancia de la luna en un mes (la diferencia entre su apogeo y perigeo), 42,171 kilómetros (26,204 millas), y 5% de error de la longitud del ecuador , 40.075 kilómetros (24.901 millas). De manera similar, la velocidad de escape de la Tierra es de 40,270 km / h (25,020 mph).
Ver también
- Casi entero
- Principio antrópico
- Problema de cumpleaños
- Isomorfismo excepcional
- Número narcisista
- Ley fuerte de los números pequeños
- Matemáticas experimentales
- Triángulo de Kepler # Una coincidencia matemática
- Fórmula de Koide
Referencias
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enlaces externos
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