Un triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo con longitudes de arista en progresión geométrica . La proporción de la progresión es √ 𝜙 , donde 𝜙 es la proporción áurea , [a] y se puede escribir:, o aproximadamente 1: 1.272: 1.618 . [1] Los cuadrados de los bordes de este triángulo también están en progresión geométrica de acuerdo con la proporción áurea en sí.
Los triángulos con tales proporciones llevan el nombre del matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), quien demostró por primera vez que este triángulo se caracteriza por una proporción entre su lado corto y la hipotenusa igual a la proporción áurea. [2] Los triángulos de Kepler combinan dos conceptos matemáticos clave, el teorema de Pitágoras y la proporción áurea, que fascinaron profundamente a Kepler, como expresó:
La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, el otro es la división de una línea en proporción media y extrema. El primero lo podemos comparar con una masa de oro, el segundo lo podemos llamar una joya preciosa. [3]
Algunas fuentes afirman que un triángulo con dimensiones que se aproximan mucho a un triángulo de Kepler puede reconocerse en la Gran Pirámide de Giza , [4] [5] lo que lo convierte en una pirámide dorada .
Derivación
El hecho de que un triángulo con aristas , y , forma un triángulo rectángulo se deriva directamente de reescribir el polinomio cuadrático que define la proporción áurea:
en la forma del teorema de Pitágoras :
Relación con la media aritmética, geométrica y armónica
Para positivos números reales a y b , su media aritmética , media geométrica , y media armónica son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo si y sólo si ese triángulo es un triángulo Kepler. [6]
Construyendo un triángulo de Kepler
Un triángulo de Kepler se puede construir solo con regla y compás creando primero un rectángulo áureo :
- Construye un cuadrado unitario
- Dibuja una línea desde el punto medio de un lado del cuadrado hasta una esquina opuesta
- Usa esa línea como radio para dibujar un arco que defina la altura del rectángulo
- Completa el rectángulo dorado
- Utilice el lado más largo del rectángulo áureo para dibujar un arco que cruce el lado opuesto del rectángulo y defina la hipotenusa del triángulo de Kepler.
Kepler lo construyó de manera diferente. En una carta a su ex profesor Michael Mästlin , escribió: "Si en una línea que se divide en proporción media y extrema se construye un triángulo rectángulo, de modo que el ángulo recto esté en la perpendicular puesto en el punto de sección, entonces el el tramo más pequeño será igual al segmento más grande de la línea dividida ". [2]
Una coincidencia matemática
En el triángulo de Kepler con lados considerar:
- el círculo que lo circunscribe (el circuncírculo ), y
- un cuadrado con un lado igual al borde mediano del triángulo.
Luego, los perímetros del cuadrado () y el círculo () coinciden hasta un error inferior al 0,1%.
Esta es la coincidencia matemática . El cuadrado y el círculo no pueden tener exactamente el mismo perímetro, porque en ese caso se podría resolver el problema clásico (imposible) de la cuadratura del círculo . En otras palabras, porque es un número trascendental .
Según algunas fuentes, los triángulos de Kepler aparecen en el diseño de las pirámides egipcias. La diagonal del piso de la Cámara del Rey , más el ancho de la cámara, dividido por la longitud de la cámara, está muy cerca de la proporción áurea. [5] [7] Sin embargo, según varios eruditos que han investigado esta relación, los antiguos egipcios probablemente no conocían la coincidencia matemática que involucra el número y la proporción áurea . [8]
Ver también
Referencias
Notas al pie
Citas
- ^ Roger Herz-Fischler (2000). La forma de la Gran Pirámide . Prensa de la Universidad Wilfrid Laurier . pag. 81. ISBN 0-88920-324-5.
- ^ a b Livio, Mario (2002). La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . Nueva York: Broadway Books . pag. 149 . ISBN 0-7679-0815-5.
- ^ Karl Fink; Wooster Woodruff Beman; David Eugene Smith (1903). Una breve historia de las matemáticas: una traducción autorizada de Geschichte der Elementar-Mathematik del Dr. Karl Fink (2ª ed.). Chicago: Open Court Publishing Co. p. 223 .
- ^ Lo mejor de Astraea: 17 artículos sobre ciencia, historia y filosofía . Astrea Web Radio. 2006. p. 93. ISBN 1-4259-7040-0.
- ^ a b Cuadrando el círculo, Paul Calter
- ^ Di Domenico, Angelo, "La proporción áurea, el triángulo rectángulo, y los medios aritméticos, geométricos y armónicos", The Mathematical Gazette 89, 2005.
- ^ La gran pirámide, el gran descubrimiento y la gran coincidencia , Mark Herkommer, 24 de junio de 2008 (archivo web)
- ^ Markowsky, George (enero de 1992). "Conceptos erróneos sobre la proporción áurea" (PDF) . Revista universitaria de matemáticas . Asociación Matemática de América . 23 (1): 2–19. doi : 10.2307 / 2686193 . JSTOR 2686193 .
No parece que los egipcios supieran siquiera de la existencia de φ y mucho menos lo incorporaron en sus edificios