La determinación de tales números es un caso especial del problema de los números de clase , y subyacen a varios resultados sorprendentes en la teoría de números.
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 y 163. (secuencia A003173 en la OEIS )
Este resultado fue conjeturado por Gauss y probado hasta fallas menores por Kurt Heegner en 1952. Alan Baker y Harold Stark probaron independientemente el resultado en 1966, y Stark indicó además que la brecha en la prueba de Heegner era menor. [2]
que da primos (distintos) para n = 1, ..., 40, está relacionado con el número de Heegner 163 = 4 · 41 - 1.
Fórmula de Euler, con tomando los valores 1, ... 40 es equivalente a
con tomando los valores 0, ... 39, y Rabinowitz [3] demostró que
da primos para si y solo si el discriminante de esta cuadrática es el negativo de un número de Heegner.
(Tenga en cuenta que rendimientos , entonces es máximo.) 1, 2 y 3 no tienen la forma requerida, por lo que los números de Heegner que funcionan son , produciendo funciones generadoras primarias de la forma de Euler para ; Estos últimos números son llamados números de la suerte de Euler por F. Le Lionnais . [4]
Brevemente, es un entero para d un número de Heegner, ya través de la q -expansion.
Si es un irracional cuadrático, entonces el j -invariante es un entero algebraico de grado, el número de clase dey el polinomio mínimo (integral mónica) que satisface se denomina "polinomio de clase de Hilbert". Así, si la extensión cuadrática imaginariatiene el número de clase 1 (por lo que d es un número de Heegner), la j -invariante es un número entero.
La q -expansión de j , con su expansión de la serie de Fourier escrita como una serie de Laurent en términos de, comienza como:
Los coeficientes crecer asintóticamente como , y los coeficientes de orden bajo crecen más lentamente que , así que para , j está muy bien aproximado por sus dos primeros términos. Configuración rendimientos o equivalente, . Ahora, entonces,
O,
donde el término lineal del error es,
explicando por qué está dentro de aproximadamente lo anterior de ser un número entero.
Fórmulas pi
Los hermanos Chudnovsky encontraron en 1987 que
que utiliza el hecho de que . Para fórmulas similares, consulte la serie Ramanujan – Sato .
Otros números de Heegner
Para los cuatro números de Heegner más grandes, las aproximaciones que se obtienen [9] son las siguientes.
Alternativamente, [10]
donde la razón de los cuadrados se debe a ciertas series de Eisenstein . Para números Heegner , no se obtiene un número casi entero; incluso no es digno de mención. [11] Las invariantes j enteras son altamente factorizables, lo que se sigue de la forma y factor como,
Estos números trascendentales , además de estar estrechamente aproximados por números enteros (que son simplemente números algebraicos de grado 1), pueden aproximarse estrechamente por números algebraicos de grado 3, [12]
Las raíces de las cúbicas se pueden dar exactamente por cocientes de la función eta de Dedekind η ( τ ), una función modular que involucra una raíz 24, y que explica el 24 en la aproximación. También pueden aproximarse mucho mediante números algebraicos de grado 4, [13]
Si denota la expresión entre paréntesis (p. ej. ), satisface respectivamente las ecuaciones cuárticas
Tenga en cuenta la reaparición de los números enteros así como el hecho de que
que, con la potencia fraccionaria adecuada, son precisamente las j-invariantes.
De manera similar para los números algebraicos de grado 6,
donde las x s están dadas respectivamente por la raíz apropiada de las ecuaciones séxticas ,
con las j-invariantes apareciendo de nuevo. Estos sexticos no solo son algebraicos, también se pueden resolver en radicales, ya que se factorizan en dos cúbicos sobre la extensión(con el primero factorizando más en dos cuadráticas ). Estas aproximaciones algebraicas se pueden expresar exactamente en términos de cocientes eta de Dedekind. Como ejemplo, dejemos, luego,
donde los cocientes eta son los números algebraicos dados anteriormente.
Números de clase 2
Los tres numeros , para el cual el campo cuadrático imaginario tiene número de clase , no se consideran números de Heegner pero tienen ciertas propiedades similares en términos de casi enteros . Por ejemplo,
y
Primos consecutivos
Dado un primo impar p , si se calcula por (esto es suficiente porque ), se obtienen compuestos consecutivos, seguidos de primos consecutivos, si y solo si p es un número de Heegner. [14]
Para obtener más información, consulte "Polinomios cuadráticos que producen primos distintos consecutivos y grupos de clases de campos cuadráticos complejos" por Richard Mollin . [15]
notas y referencias
^ Conway, John Horton ; Guy, Richard K. (1996). El libro de los números . Saltador. pag. 224 . ISBN 0-387-97993-X.
^Stark, HM (1969), "Sobre la brecha en el teorema de Heegner" (PDF) , Journal of Number Theory , 1 : 16-27, doi : 10.1016 / 0022-314X (69) 90023-7 , hdl : 2027.42 / 33039
^ Rabinovitch, Georg "Eindeutigkeit der Zerlegung en Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern". Proc. Quinto Internat. Congreso de Matemáticas. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. París: Hermann, págs. 88 y 144, 1983.
^Weisstein, Eric W. "Número trascendental" . MathWorld . da , basado en Nesterenko, Yu. V. "Sobre la independencia algebraica de los componentes de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. 38, 495–512, 1974. Traducción al inglés en matemáticas. URSS 8, 501-518, 1974.
^ Constante de Ramanujan - de Wolfram MathWorld
^Barrow, John D (2002). Las constantes de la naturaleza . Londres: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6.
^Gardner, Martin (abril de 1975). "Juegos matemáticos". Scientific American . Scientific American, Inc.232 (4): 127.
^ Estos se pueden verificar computando en una calculadora, y para el término lineal del error.
^ La desviación absoluto de un número real aleatorio (recogido de manera uniforme desde [0,1] , por ejemplo) es una variable uniformemente distribuida sobre [0, 0,5] , por lo que tiene desviación absoluta media y desviación absoluta media de 0,25, y una desviación de 0,22 no es excepcional.
^"Fórmulas Pi" .
^"Ampliación de los cocientes Eta Dedekind de Ramanujan" .
^ http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm
^Mollin, RA (1996). "Polinomios cuadráticos que producen números primos consecutivos y distintos y grupos de clases de campos cuadráticos complejos" (PDF) . Acta Arithmetica . 74 : 17-30.
enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Número de Heegner" . MathWorld .
Secuencia OEIS A003173 (números de Heegner: campos cuadráticos imaginarios con factorización única)
Problema numérico de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios, por Dorian Goldfeld : Historia detallada del problema.
Clark, Alex. "163 y Ramanujan Constant" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 16 de mayo de 2013 . Consultado el 2 de abril de 2013 .