En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M 11 es un grupo simple esporádico de orden
- 2 4 · 3 2 · 5 · 11 = 11 · 10 · 9 · 8 = 7920.
Historia y propiedades
M 11 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu ( 1861 , 1873 ). Es el grupo esporádico más pequeño y, junto con los otros cuatro grupos de Mathieu, el primero en ser descubierto. El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismo externo son triviales .
M 11 es un grupo de permutación claramente 4-transitivo en 11 objetos y puede ser definido por algún conjunto de permutaciones, como el par (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) , (3,7,11,8) (4,10,5,6) de permutaciones utilizadas por el sistema de álgebra computacional GAP .
Representaciones
M 11 tiene una representación de permutación claramente 4-transitiva en 11 puntos, cuyo estabilizador de punto a veces se denota por M 10 , y es una extensión no dividida de la forma A 6 .2 (una extensión del grupo de orden 2 por la alternancia grupo A 6 ). Esta acción es el grupo de automorfismos de un sistema Steiner S (4,5,11). La acción inducida sobre pares de puntos desordenados otorga una acción de rango 3 sobre 55 puntos.
M 11 tiene una representación de permutación transitiva 3 en 12 puntos con estabilizador de punto PSL 2 (11). Las representaciones de permutación en 11 y 12 puntos se pueden ver dentro del grupo Mathieu M12 como dos incrustaciones diferentes de M 11 en M 12 , intercambiadas por un automorfismo externo.
La representación de permutación en 11 puntos da una representación irreductible compleja en 10 dimensiones. Esta es la dimensión más pequeña posible de una representación compleja fiel, aunque también hay otras dos representaciones de este tipo en 10 dimensiones que forman un par conjugado complejo.
M 11 tiene dos representaciones irreductibles de 5 dimensiones sobre el campo con 3 elementos, relacionadas con las restricciones de las representaciones de 6 dimensiones de la doble cubierta de M 12 . Estos tienen la dimensión más pequeña de cualquier representación lineal fiel de M 11 sobre cualquier campo.
Subgrupos máximos
Hay 5 clases de conjugación de subgrupos máximos de M 11 como sigue:
- M 10 , orden 720, estabilizador de un punto en representación de grado 11
- PSL (2,11), pedido 660, estabilizador de un punto en representación de grado 12
- M 9 : 2, orden 144, estabilizador de tabique 9 y 2.
- S 5 , orden 120, órbitas de 5 y 6
- Estabilizador de bloque en el sistema Steiner S (4,5,11)
- P : S 3 , orden 48, órbitas de 8 y 3
- Centralizador de una transposición cuádruple
- Isomorfo a GL (2,3).
Clases conjugadas
El orden máximo de cualquier elemento en M 11 es 11. Las estructuras de ciclo se muestran para las representaciones de los grados 11 y 12.
Pedido | No elementos | Grado 11 | Grado 12 | |
---|---|---|---|---|
1 = 1 | 1 = 1 | 1 11 · | 1 12 · | |
2 = 2 | 165 = 3 · 5 · 11 | 1 3 · 2 4 | 1 4 · 2 4 | |
3 = 3 | 440 = 2 3 · 5 · 11 | 1 2 · 3 3 | 1 3 · 3 3 | |
4 = 2 2 | 990 = 2 · 3 2 · 5 · 11 | 1 3 · 4 2 | 2 2 · 4 2 | |
5 = 5 | 1584 = 2 4 · 3 2 · 11 | 1 · 5 2 | 1 2 · 5 2 | |
6 = 2 · 3 | 1320 = 2 3 · 3 · 5 · 11 | 2 · 3 · 6 | 1 · 2 · 3 · 6 | |
8 = 2 3 | 990 = 2 · 3 2 · 5 · 11 | 1 · 2 · 8 | 4 · 8 | equivalente de potencia |
990 = 2 · 3 2 · 5 · 11 | 1 · 2 · 8 | 4 · 8 | ||
11 = 11 | 720 = 2 4 · 3 2 · 5 | 11 | 1 · 11 | equivalente de potencia |
720 = 2 4 · 3 2 · 5 | 11 | 1 · 11 |
Referencias
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enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Mathieu
- Atlas de representaciones de grupos finitos: M 11