En matemáticas , un vector unitario en un espacio vectorial normalizado es un vector (a menudo un vector espacial ) de longitud 1. Un vector unitario a menudo se denota por una letra minúscula con un circunflejo o "sombrero", como en(pronunciado "v-hat"). [1] [2]
El término vector de dirección se usa para describir un vector unitario que se usa para representar la dirección espacial, y tales cantidades se denotan comúnmente como d ; Las direcciones espaciales 2D representadas de esta manera son numéricamente equivalentes a puntos en el círculo unitario . La misma construcción se utiliza para especificar direcciones espaciales en 3D, que son equivalentes a un punto en la esfera unitaria .
El vector normalizado û de un vector u distinto de cero es el vector unitario en la dirección de u , es decir,
donde | u | es la norma (o longitud) de u . [3] [4] El término vector normalizado se utiliza a veces como sinónimo de vector unitario .
Los vectores unitarios a menudo se eligen para formar la base de un espacio vectorial, y cada vector en el espacio puede escribirse como una combinación lineal de vectores unitarios.
Por definición, el producto escalar de dos vectores unitarios en un espacio euclidiano es un valor escalar que equivale al coseno del ángulo subtendido más pequeño. En el espacio euclidiano tridimensional, el producto cruzado de dos vectores unitarios arbitrarios es un tercer vector ortogonal a ambos, cuya longitud es igual al seno del ángulo subtendido más pequeño. El producto cruzado normalizado corrige esta longitud variable y produce el vector unitario mutuamente ortogonal a las dos entradas, aplicando la regla de la mano derecha para resolver una de las dos direcciones posibles.
Coordenadas ortogonales
Coordenadas cartesianas
Los vectores unitarios se pueden utilizar para representar los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano . Por ejemplo, los vectores unitarios estándar en la dirección de los ejes x , y y z de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional son
Forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales , a los que normalmente se hace referencia como base estándar en álgebra lineal .
A menudo se denotan utilizando una notación vectorial común (por ejemplo, i o) en lugar de la notación vectorial unitaria estándar (p. ej., ). En la mayoría de los contextos se puede suponer que i , j y k , (o y ) son versores de un sistema de coordenadas cartesiano 3-D. Las notaciones, , , o , con o sin sombrero , también se usan, [3] particularmente en contextos donde i , j , k pueden llevar a confusión con otra cantidad (por ejemplo, con símbolos de índice como i , j , k , que se usan para identificar un elemento de un conjunto o matriz o secuencia de variables).
Cuando un vector unitario en el espacio se expresa en notación cartesiana como una combinación lineal de i , j , k , sus tres componentes escalares pueden denominarse cosenos de dirección . El valor de cada componente es igual al coseno del ángulo formado por el vector unitario, con el vector base respectivo. Este es uno de los métodos utilizados para describir la orientación (posición angular) de una línea recta, segmento de línea recta, eje orientado o segmento de eje orientado ( vector ).
Coordenadas cilíndricas
Los tres vectores unitarios ortogonales apropiados para la simetría cilíndrica son:
- (también designado o ), que representa la dirección a lo largo de la cual se mide la distancia entre el punto y el eje de simetría;
- , que representa la dirección del movimiento que se observaría si el punto girara en sentido antihorario sobre el eje de simetría ;
- , que representa la dirección del eje de simetría;
Están relacionados con la base cartesiana. , , por:
Es importante tener en cuenta que y son funciones de , y no son constantes en dirección. Al diferenciar o integrar en coordenadas cilíndricas, estos vectores unitarios también deben ser operados. Los derivados con respecto a están:
Coordenadas esféricas
Los vectores unitarios apropiados para la simetría esférica son: , la dirección en la que aumenta la distancia radial desde el origen; , la dirección en la que el ángulo en el plano x - y en sentido antihorario desde el eje x positivo está aumentando; y, la dirección en la que aumenta el ángulo desde el eje z positivo . Para minimizar la redundancia de representaciones, el ángulo polargeneralmente se considera que se encuentra entre cero y 180 grados. Es especialmente importante notar el contexto de cualquier triplete ordenado escrito en coordenadas esféricas , ya que los roles de y a menudo se invierten. Aquí se utiliza la convención estadounidense de "física" [5] . Esto deja el ángulo azimutal definido lo mismo que en coordenadas cilíndricas. Las relaciones cartesianas son:
Los vectores unitarios esféricos dependen de ambos y , y por lo tanto hay 5 posibles derivadas distintas de cero. Para obtener una descripción más completa, consulte Matriz jacobiana y determinante . Las derivadas distintas de cero son:
Vectores de unidad general
Los temas comunes de los vectores unitarios ocurren en la física y la geometría : [6]
Vector unitario | Nomenclatura | Diagrama |
---|---|---|
Vector tangente a una curva / línea de flujo | Un vector normal al plano que contiene y definido por el vector de posición radial y dirección de rotación tangencial angular es necesario para que se mantengan las ecuaciones vectoriales del movimiento angular. | |
Normal a un plano / plano tangente de superficie que contiene un componente de posición radial y un componente tangencial angular | En términos de coordenadas polares ; | |
Vector binormal a tangente y normal | [7] | |
Paralelo a algún eje / línea | Un vector unitario alineado paralelo a una dirección principal (línea roja), y un vector unitario perpendicular está en cualquier dirección radial con respecto a la línea principal. | |
Perpendicular a algún eje / línea en alguna dirección radial | ||
Posible desviación angular relativa a algún eje / línea | Vector unitario en un ángulo de desviación aguda φ (incluido 0 o π / 2 rad) con respecto a una dirección principal. |
Coordenadas curvilíneas
En general, un sistema de coordenadas se puede especificar de forma única utilizando un número de vectores unitarios linealmente independientes[3] (el número real es igual a los grados de libertad del espacio). Para el espacio tridimensional ordinario, estos vectores se pueden denotar. Casi siempre es conveniente definir el sistema como ortonormal y diestro :
dónde es el delta de Kronecker (que es 1 para i = j , y 0 en caso contrario) yes el símbolo de Levi-Civita (que es 1 para permutaciones ordenadas como ijk y -1 para permutaciones ordenadas como kji ).
Versor derecho
Un vector unitario en ℝ 3 fue llamado versor derecho por WR Hamilton , ya que desarrolló sus cuaterniones ℍ ⊂ ℝ 4 . De hecho, fue el creador del término vector , ya que cada cuaternióntiene una parte escalar sy una parte vectorial v . Si v es un vector unitario en ℝ 3 , entonces el cuadrado de v en los cuaterniones es –1. Así, por la fórmula de Euler ,es un versor en las 3 esferas . Cuando θ es un ángulo recto , el versor es un versor recto: su parte escalar es cero y su parte vectorial v es un vector unitario en ℝ 3 .
Ver también
- sistema de coordenadas Cartesianas
- Sistema coordinado
- Coordenadas curvilíneas
- Cuatro velocidades
- Matriz jacobiana y determinante
- Vector normal
- Sistema de coordenadas polares
- Base estándar
- Intervalo unitario
- Unidad de cuadrado , cubo , círculo , esfera e hipérbola
- Notación vectorial
- Vector de unos
Notas
- ^ "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
- ^ "Vector unitario" . www.mathsisfun.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Vector unitario" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
- ^ "Vectores unitarios | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
- ^ Tevian Dray y Corinne A. Manogue, coordenadas esféricas, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
- ^ F. Ayres; E. Mendelson (2009). Cálculo (Serie de esquemas de Schaum) (5ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
- ^ MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (Serie de esquemas de Schaum) (2ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
Referencias
- GB Arfken y HJ Weber (2000). Métodos matemáticos para físicos (5ª ed.). Prensa académica. ISBN 0-12-059825-6.
- Spiegel, Murray R. (1998). Esquemas de Schaum: Manual matemático de fórmulas y tablas (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
- Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.