En álgebra lineal , una matriz cuadrada A de n por n se llama invertible (también no singular o no degenerada ), si existe una matriz cuadrada B de n por n tal que
donde I n denota la matriz identidad n por n y la multiplicación utilizada es la multiplicación de matrices ordinaria . Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada únicamente por A , y se llama la inversa (multiplicativa) de A , denotada por A −1 . [1] La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación anterior para una matriz A invertible dada .
Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular o degenerada . Una matriz cuadrada es singular si y solo si su determinante es cero. [2] Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan aleatoriamente de cualquier región finita en la recta numérica o el plano complejo, la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, "casi nunca" ser singular. Las matrices no cuadradas (matrices de m por n para las que m ≠ n ) no tienen inversa . Sin embargo, en algunos casos tal matriz puede tener una inversa izquierdao derecho inverso . Si A es m por n y el rango de A es igual a n ( n ≤ m ), entonces A tiene inversa por la izquierda, una matriz B de n por m tal que BA = I n . Si A tiene rango m ( m ≤ n ), entonces tiene inversa derecha, una matriz B de n por m tal que AB =yo soy _
Si bien el caso más común es el de matrices sobre números reales o complejos , todas estas definiciones se pueden dar para matrices sobre cualquier anillo . Sin embargo, en el caso de que el anillo sea conmutativo, la condición para que una matriz cuadrada sea invertible es que su determinante sea invertible en el anillo, lo que en general es un requisito más estricto que ser distinto de cero. Para un anillo no conmutativo, el determinante habitual no está definido. Las condiciones para la existencia de inverso a la izquierda o inverso a la derecha son más complicadas, ya que no existe una noción de rango sobre los anillos.
El conjunto de matrices invertibles n × n junto con la operación de multiplicación de matrices (y las entradas del anillo R ) forman un grupo , el grupo lineal general de grado n , denotado GL n ( R ) .
Sea A una matriz cuadrada de n por n sobre un campo K (por ejemplo, el campo R de los números reales). Las siguientes declaraciones son equivalentes (es decir, son todas verdaderas o todas falsas para cualquier matriz dada): [3]