Teoría del campo de clase
En matemáticas , la teoría de campos de clases es la rama de la teoría de números algebraica que se ocupa de describir las extensiones de Galois de los campos locales y globales . [1] A Hilbert se le atribuye a menudo la noción de campo de clase . Pero ya le resultaba familiar a Kronecker y en realidad fue Weber quien acuñó el término antes de que aparecieran los artículos fundamentales de Hilbert. [2] Esta teoría tiene su origen en la prueba de reciprocidad cuadrática de Gaussa finales del siglo XVIII. Estas ideas se desarrollaron durante el siglo siguiente, dando lugar a un conjunto de conjeturas de Hilbert que posteriormente fueron probadas por Takagi y Artin . Estas conjeturas y sus demostraciones constituyen el cuerpo principal de la teoría de campos de clases.
Una de las mayores estados de resultados que, dado un campo de número F , y escribiendo K para la máxima unramified abeliano extensión de F , el grupo de Galois de K sobre F es canónicamente isomorfo al grupo ideal de la clase de F . Esta afirmación se puede generalizar a la ley de reciprocidad de Artin ; escribiendo C F para el grupo de clase idele de F , y tomando L como cualquier extensión abeliana finita de F , esta ley da un isomorfismo canónico
donde denota el mapa norma Idelic de L a M . Este isomorfismo se denomina mapa de reciprocidad . El teorema de existencia establece que el mapa de reciprocidad puede usarse para dar una biyección entre el conjunto de extensiones abelianas de F y el conjunto de subgrupos cerrados de índice finito de
Un método estándar para desarrollar la teoría de campos de clases globales desde la década de 1930 es desarrollar la teoría de campos de clases locales , que describe extensiones abelianas de campos locales, y luego usarla para construir la teoría de campos de clases globales. Esto fue hecho por primera vez por Artin y Tate utilizando la teoría de la cohomología de grupo y, en particular, desarrollando la noción de formación de clases. Más tarde, Neukirch encontró una prueba de las principales afirmaciones de la teoría del campo de clases global sin utilizar ideas cohomológicas.
La teoría de campos de clases también abarca la construcción explícita de extensiones abelianas máximas de campos numéricos en los pocos casos en que se conocen tales construcciones. Actualmente, esta parte de la teoría consiste en el teorema de Kronecker-Weber , que se puede usar para construir las extensiones abelianas de , y la teoría de la multiplicación compleja , que se puede usar para construir las extensiones abelianas de los campos CM .
El programa Langlands ofrece un enfoque para generalizar la teoría de campos de clases a extensiones no abelianas. Esta generalización sigue siendo en su mayoría conjeturas. Para los campos numéricos, la teoría de campos de clases y los resultados relacionados con el teorema de modularidad son los únicos casos conocidos.