Teorema de Sylvester-Gallai
El teorema de Sylvester-Gallai en geometría establece que todo conjunto finito de puntos en el plano euclidiano tiene una línea que pasa exactamente por dos de los puntos o una línea que pasa por todos ellos. Lleva el nombre de James Joseph Sylvester , quien lo planteó como problema en 1893, y Tibor Gallai , quien publicó una de las primeras demostraciones de este teorema en 1944.
Una recta que contiene exactamente dos de un conjunto de puntos se conoce como recta ordinaria . Otra forma de enunciar el teorema es que todo conjunto finito de puntos que no es colineal tiene una recta ordinaria. De acuerdo con un refuerzo del teorema, todo conjunto de puntos finitos (no todos en una línea) tiene al menos un número lineal de líneas ordinarias. Un algoritmo puede encontrar una línea ordinaria en un conjunto de puntos en el tiempo .
El teorema de Sylvester-Gallai fue planteado como problema por JJ Sylvester ( 1893 ). Kelly ( 1986 ) sugiere que Sylvester puede haber sido motivado por un fenómeno relacionado en la geometría algebraica , en el que los puntos de inflexión de una curva cúbica en el plano proyectivo complejo forman una configuración de nueve puntos y doce líneas (la configuración de Hesse ) en la que cada recta determinada por dos de los puntos contiene un tercer punto. El teorema de Sylvester-Gallai implica que es imposible que estos nueve puntos tengan coordenadas reales. [1]
HJ Woodall ( 1893a , 1893b ) afirmó tener una breve prueba del teorema de Sylvester-Gallai, pero ya se notó que estaba incompleta en el momento de la publicación. Eberhard Melchior ( 1941 ) demostró el teorema (y en realidad un resultado un poco más fuerte) en una formulación equivalente, su dual proyectivo . Desconociendo la prueba de Melchior, [2] Paul Erdős ( 1943 ) volvió a plantear la conjetura, que posteriormente fue probada por Tibor Gallai , y poco después por otros autores. [3]
En una revisión de 1951, Erdős llamó al resultado "teorema de Gallai", [4] pero ya se llamaba teorema de Sylvester-Gallai en una revisión de 1954 de Leonard Blumenthal . [5] Es uno de los muchos temas matemáticos que lleva el nombre de Sylvester .
La cuestión de la existencia de una línea ordinaria también se puede plantear para puntos en el plano proyectivo real RP 2 en lugar del plano euclidiano .. El plano proyectivo se puede formar a partir del plano euclidiano agregando puntos adicionales "en el infinito" donde las líneas que son paralelas en el plano euclidiano se cruzan entre sí, y agregando una sola línea "en el infinito" que contiene todos los puntos agregados. Sin embargo, los puntos adicionales del plano proyectivo no pueden ayudar a crear conjuntos de puntos finitos no euclidianos sin línea ordinaria, ya que cualquier conjunto de puntos finitos en el plano proyectivo puede transformarse en un conjunto de puntos euclidiano con el mismo patrón combinatorio de incidencias punto-línea. . Por lo tanto, cualquier patrón de un número finito de puntos y líneas que se intersectan que existe en uno de estos dos tipos de plano también existe en el otro. Sin embargo, el punto de vista proyectivo permite describir con mayor facilidad ciertas configuraciones. En particular,, en el que los roles de puntos y líneas en declaraciones de geometría proyectiva pueden intercambiarse entre sí. Bajo dualidad proyectiva, la existencia de una línea ordinaria para un conjunto de puntos no colineales en RP 2 es equivalente a la existencia de un punto ordinario en un arreglo no trivial de un número finito de líneas. Se dice que un arreglo es trivial cuando todas sus líneas pasan por un punto común, y no trivial en caso contrario; un punto ordinario es un punto que pertenece exactamente a dos rectas. [2]
