En geometría, la configuración de Hesse , introducida por Colin Maclaurin y estudiada por Hesse ( 1844 ), [1] es una configuración de 9 puntos y 12 líneas con tres puntos por línea y cuatro líneas a través de cada punto. Puede realizarse en el plano proyectivo complejo como el conjunto de puntos de inflexión de una curva elíptica , pero no tiene realización en el plano euclidiano .
Descripción
La configuración de Hesse tiene las mismas relaciones de incidencia que las líneas y puntos del plano afín sobre el campo de 3 elementos . Es decir, los puntos de la configuración de Hesse pueden identificarse con pares ordenados de números módulo 3, y las líneas de la configuración pueden identificarse correspondientemente con los triples de puntos ( x , y ) que satisfacen una ecuación lineal ax + by = c ( mod 3) . Alternativamente, los puntos de la configuración pueden identificarse por los cuadrados de un tablero de tic-tac-toe , y las líneas pueden identificarse con las líneas y diagonales discontinuas del tablero.
Cada punto pertenece a cuatro líneas: en la interpretación tic tac toe de la configuración, una línea es horizontal, una vertical y dos son diagonales o diagonales discontinuas. Cada línea contiene tres puntos, por lo que en el lenguaje de configuraciones la configuración de Hesse tiene la notación 9 4 12 3 .
El grupo de automorfismo de la configuración de Hesse tiene el orden 216 y se conoce como el grupo de Hesse .
Configuraciones relacionadas
La eliminación de cualquier punto y sus cuatro líneas de incidencia de la configuración de Hesse produce otra configuración del tipo 8 3 8 3 , la configuración de Möbius-Kantor . [2] [3] [4]
En la configuración de Hesse, las 12 líneas se pueden agrupar en cuatro triples de líneas paralelas (que no se cruzan). Al eliminar de la configuración de Hesse las tres líneas que pertenecen a un solo triple se produce una configuración del tipo 9 3 9 3 , la configuración Pappus . [3] [4]
A su vez, la configuración de Hesse puede aumentarse agregando cuatro puntos, uno por cada triple de líneas que no se cruzan, y una línea que contenga los cuatro nuevos puntos, para formar una configuración de tipo 13 4 13 4 , el conjunto de puntos y líneas de el plano proyectivo sobre el campo de tres elementos.
Realizabilidad
La configuración de Hesse se puede realizar en el plano proyectivo complejo como los 9 puntos de inflexión de una curva elíptica y las 12 líneas a través de triples de puntos de inflexión. Si un conjunto dado de nueve puntos en el plano complejo es el conjunto de inflexiones de una curva elíptica C , también es el conjunto de inflexiones de cada curva en un lápiz de curvas generado por C y por la curva de Hesse de C , el Hesse. lápiz . [5]
El poliedro de Hesse es una representación de la configuración de Hesse en el plano complejo.
La configuración de Hesse comparte con la configuración de Möbius-Kantor la propiedad de tener una realización compleja pero no ser realizable por puntos y líneas rectas en el plano euclidiano . En la configuración de Hesse, cada dos puntos están conectados por una línea de la configuración (la propiedad definitoria de las configuraciones de Sylvester-Gallai ) y, por lo tanto, cada línea a través de dos de sus puntos contiene un tercer punto. Pero en el plano euclidiano, todo conjunto finito de puntos es colineal o incluye un par de puntos cuya línea no contiene ningún otro punto del conjunto; este es el teorema de Sylvester-Gallai . Debido a que la configuración de Hesse desobedece el teorema de Sylvester-Gallai, no tiene realización euclidiana. Este ejemplo también muestra que el teorema de Sylvester-Gallai no se puede generalizar al plano proyectivo complejo. Sin embargo, en espacios complejos, la configuración de Hesse y todas las configuraciones de Sylvester-Gallai deben estar dentro de un subespacio plano bidimensional. [6]
Referencias
- ^ Hesse, O. (1844), "Über die Elimination der Variabeln aus drei algebraischen Gleichungen vom zweiten Grade mit zwei Variabeln" (PDF) , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 28 : 68–96, doi : 10.1515 / crll.1844.28.68 , ISSN 0075-4102.
- ^ Dolgachev, Igor V. (2004), "Configuraciones abstractas en geometría algebraica", The Fano Conference , Univ. Torino, Turín, págs. 423–462, arXiv : math.AG/0304258 , MR 2112585.
- ^ a b Coxeter, HSM (1950), "Configuraciones auto-duales y gráficos regulares", Boletín de la American Mathematical Society , 56 (5): 413–455, doi : 10.1090 / S0002-9904-1950-09407-5.
- ^ a b Cullinane, Steven H. (2011), Configuraciones y cuadrados.
- ^ Artebani, Michela; Dolgachev, Igor (2009), "El lápiz de Hesse de las curvas cúbicas planas", L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 55 (3): 235–273, arXiv : math / 0611590 , doi : 10.4171 / lem / 55-3- 3 , MR 2583779.
- ^ Elkies, Noam ; Pretorius, Lou M .; Swanepoel, Konrad J. (2006), "Teoremas de Sylvester-Gallai para números complejos y cuaterniones", Geometría discreta y computacional , 35 (3): 361–373, arXiv : math / 0403023 , doi : 10.1007 / s00454-005-1226 -7 , MR 2202107.