Conjunto de singularidad
En matemáticas , un conjunto de unicidad es un concepto relevante para las expansiones trigonométricas que no son necesariamente series de Fourier . Su estudio es una rama relativamente pura del análisis armónico .
que converge a cero porque es idénticamente cero; es decir, tal que
De lo contrario , E es un conjunto de multiplicidad (a veces llamado conjunto M o conjunto de Menshov ) . Se aplican definiciones análogas en la línea real y en dimensiones superiores. En el último caso, es necesario especificar el orden de la suma, por ejemplo, "un conjunto de unicidad con respecto a la suma de bolas".
Para comprender la importancia de la definición, es importante salir de la mentalidad de Fourier . En el análisis de Fourier no se trata de unicidad, ya que los coeficientes c ( n ) se obtienen integrando la función. Por lo tanto, en el análisis de Fourier, el orden de las acciones es
En efecto, suele ser suficientemente interesante (como en la definición anterior) suponer que la suma converge a cero y preguntar si eso significa que todos los c ( n ) deben ser cero. Como es habitual en el análisis , las preguntas más interesantes surgen cuando se discute la convergencia puntual . De ahí la definición anterior, que surgió cuando quedó claro que ni la convergencia en todas partes ni la convergencia en casi todas partes dan una respuesta satisfactoria.
El conjunto vacío es un conjunto de unicidad. Esto simplemente significa que si una serie trigonométrica converge a cero en todas partes , entonces es trivial. Así lo demostró Riemann , utilizando una delicada técnica de doble integración formal; y mostrando que la suma resultante tiene algún tipo generalizado de segunda derivada usando operadores Toeplitz . Más tarde, Cantor generalizó las técnicas de Riemann para mostrar que cualquier conjunto cerrado contable es un conjunto de unicidad , un descubrimiento que lo llevó al desarrollo de la teoría de conjuntos . Paul Cohen , otro gran innovador en la teoría de conjuntos, comenzó su carrera con una tesis sobre conjuntos de unicidad.